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Aufgabe:

5.5. Sei \( V \) ein Vektorraum, und \( v^{1}, v^{2}, v^{3}, v^{4} \) seien linear unabhängige Vektoren in \( V \). Ermittle in jedem der folgenden 3 Fälle, ob die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind:
(a) \( v^{1}, v^{1}+v^{2}, v^{1}+v^{2}+v^{3}, v^{1}+v^{2}+v^{3}+v^{4} \)
(b) \( v^{1}-v^{2}, v^{2}+v^{3}, v^{3}-v^{4}, v^{4}+v^{1} \),
(c) \( v^{1}+v^{2}, v^{2}+v^{3}, v^{3}+v^{4}, v^{4}-v^{1} \).
Beispiel: Die beiden Vektoren \( v^{1}, v^{1}+v^{2} \) sind linear unabhängig, denn für \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R} \) gilt \( \lambda_{1} v^{1}+\lambda_{2}\left(v^{1}+v^{2}\right)=0 \Longrightarrow\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) v^{1}+\lambda_{2} v^{2}=0 \Longrightarrow \lambda_{1}+\lambda_{2}=\lambda_{2}=0 \Longrightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \) da \( v^{1}, v^{2} \) linear unabhängig sind.


Problem/Ansatz:

Ich kann diese Aufagbe nicht verstehen !!!

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Beste Antwort

Hallo

wenn du 4 linear unabhängige Vektoren hast, kannst du daraus wieder zum Teil anderen linear unabhängige Vektoren machen. Die Frage ist:  sind die 4 jeweils angegebenen wieder linear unabhängig.

Was du machen musst

z.B bei a)   zeige dass a*v1+b*(v1+v2)+c*(v1+v2+v3)+d*(v1+v2+v3+v4)=0 nur mit a=b=c=d=0 zu erfüllen ist, Wenn man weiss dass Av1+Bv2+Cv3+Dv4=0 nur mit A=B=C=D=0 zu erfüllen ist .

(Tip schreibe die  1. Gleichung so um dass da wieder die vi zusammen sind

also v1*(a+b+c+d)  v2*(..) usw.)

entsprechend bei b und c

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

ich habe gefunden : a ist Linear unabhängig

                               b ist Linear abhängig

                              c ist Linear unabhängig

ist das richtig ??? und Danke !!

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