Question

Überprüfen Sie jeweils, ob die gegebenen Vektoren des Vektorraums \( \mathbb{R}^{3} \) linear unabhängig sind.

a) \( \mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right), \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 8 \\ 8\end{array}\right), \mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -2 \\ -3\end{array}\right) \)
b) \( \mathbf{v}_{\mathbf{1}}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ 2\end{array}\right), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 11 \\ -1\end{array}\right), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Gleichung$$\vec v_1\cdot x+\vec v_2\cdot y+\vec v_3\cdot z=\vec 0$$hat nur die triviale Lösung \((x;y;z)=(0;0;0)\), denn$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & -1\\-1 & 8 & -2\\2 & 8 & -3\end{array}\right)=18\ne0$$Das heißt, die Vektoren \(\vec v_1;\vec v_2;\vec v_3\) sind linear unabhängig.

zu b) Die Gleichung$$\vec v_1\cdot x+\vec v_2\cdot y+\vec v_3\cdot z=\vec 0$$hat unendlich viele Lösungen. denn$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}2 & 5 & -4\\-4 & 11 & 1\\2 & -1 & -2\end{array}\right)=0$$Das heißt, die Vektoren \(\vec v_1;\vec v_2;\vec v_3\) sind linear abhängig.

Answer 2

Schreibe die drei Vektoren in eine Matrix und berechne deren

Determinante. Wenn die nicht 0 ist, sind sie lin. unabh.