Bestimme die Funktion mit Hilfe dieser Angaben.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Funktion mit Hilfe dieser Angaben.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y- Achse und schneidet diesen im Punkt P(0|4). Im Punkt W(-1|1) hat der Graph einen Wendepunkt.

Problem/Ansatz:

Was ich raus bekommen habe:

1) f(x)= ax^4+ cx²+e

2) • f(0)= 4 • f(-1)= 1 • f''(-1)= 0

Mein Ergebnis lautet dann f(x)= -3x^4+ 4.

Könnte mir jemand bitte sagen ob es richtig ist oder nicht.

Vielen Dank im Voraus

Comments

Wenn Du Deine Funktion plottest wirst Du feststellen, dass das mit dem Wendepunkt nicht hinhaut.

Answer 1

Aloha :)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

ist achsensymmetrisch zur y- Achse$$f(x)=ax^4+\cancel{bx^3}+cx^2+\cancel{dx}+e=ax^4+cx^2+e$$

und schneidet diese im Punkt P(0|4).$$f(x)=ax^4+cx^2+4$$

Im Punkt W(-1|1)$$1\stackrel!=f(-1)=a+c+4\implies \red{a+c=-3}$$

hat der Graph einen Wendepunkt:$$f'(x)=4ax^3+2cx$$$$f''(x)=12ax^2+2c$$$$0\stackrel!=f''(-1)=12a+2c\implies \green{6a+c=0}$$

Aus der roten und grünen Gleichung erhalten wir:$$\green{0=6a+c}=5a+(\red{a+c})=5a\red{-3}\implies 5a=3\implies a=\frac35\stackrel{\red{a+c=-3}}{\implies}c=-3-\frac35=-\frac{18}{5}$$

Die gesuchte Funktion ist daher:$$f(x)=\frac35x^4-\frac{18}{5}x^2+4$$

~plot~ 3/5*x^4-18/5*x^2+4 ; {-1|1} ~plot~

Comments

Danke für diese ausführliche Erklärung!

Answer 2

"Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y- Achse und schneidet diesen im Punkt \(P(0|4)\). Im Punkt \(W(-1|1)\) hat der Graph einen Wendepunkt."

Ich verschiebe den Graph um 1 Einheit nach unten:

\(P(0|4)\)→\(P´(0|3)\)

\(W(-1|1)\)→\(W´(-1|0)\)  Wegen der Achsensymmetrie gilt zudem  \(W_1´(1|0)\)

\(f(x)=a*(x+1)*(x-1)*(x^2-N^2)=a*(x^2-1)*(x^2-N^2)\)

\(P´(0|3)\)

\(f(0)=a*(0-1)*(0-N^2)=a*N^2=3\)  →\(a=\frac{3}{N^2}\)

\(f(x)=\frac{3}{N^2}*[(x^2-1)*(x^2-N^2)]\)

\(f´(x)=\frac{3}{N^2}*[2x*(x^2-N^2)+(x^2-1)*2x]=\frac{3}{N^2}*[4x^3-2x*N^2-2x]\)  

\(f´´(x)=\frac{3}{N^2}*[12x^2-2*N^2-2]\) 

\(f´´(1)=\frac{3}{N^2}*[12-2*N^2-2]=0\)   →  \(N^2=5\)  \(a=\frac{3}{5}\)

\(f(x)=\frac{3}{5}*(x^2-1)*(x^2-5)\)

Nun wieder 1 Einheit nach oben:

\(p(x)=\frac{3}{5}*(x^2-1)*(x^2-5)+1\)