Überprüfen, ob die Vektoren linear unabhängig in V sind, Erzeugendensystem von V sind oder Basis von V bilden

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie jeweils, ob die angegebenen Vektoren linear unabhängig in V sind, ein Erzeugendensystem
von V sind oder sogar eine Basis von V bilden.

a)

$$ v _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 4 } \\ { 6 } \end{array} \right) , v _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 6 } \\ { 9 } \end{array} \right) \text { in } V = R ^ { 2 } $$

b)

$$ v _1 = \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { - 2 } \end{array} \right) , \quad v _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { - 2 } \end{array} \right) , \quad v _ { 3 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) \quad \text { in } V = R ^ { 2 } $$

c)

$$ v_1 = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right), v_2 = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { -1 } \\ { 1 } \end{array} \right), v_3 = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) \quad \text { in } V = R ^ { 3 } $$

Answer 1

a) Linear abhängig, weil v2 = 1.5 * v1

Sie bilden kein erzeugendensystem also auch keine Basis.

b) v1 und v2 sind identisch und damit linear abhängig. v1 und v3 sind linear unabhängig. Wir haben hier also ein Erzeugendensystem des R2. Wir haben keine Basis weil v1 und v2 linear abhängig sind.

c)

[1, 1, 0]
[1, -1, 1] I - II
[1, 1, 1] I - III

 

[1, 1, 0]
[0, 2, -1]
[0, 0, -1]

Wir haben jetzt eine Stufenform. Damit sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis und ein Erzeugendensystem des R3.