Aufgabe:
Vektoren: Lineare Unabhängigkeit und Basen prüfen
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Meine Frage bezieht sich auf b) und f)
(b) \( A_{2}=\{(1,2,3),(3,0,1)\} \)
(f) \( A_{6}=\{(2,-1,0),(1,0,5),(2,2,2),(-5,0,1)\} \).
-1) Welche der folgende Menge von Vektoren sind linear unabhängig? Beweisen und begründen Sie Ihre Behauptungen.
-2) Wir betrachten die Mengen von Vektoren A1, . . . ,A6. Jede dieser Mengen Ai erzeugt einen Vektorraum Mi (i = 1-6). Welche der Mengen Ai bilden eine Basis von Mi? Falls Ai keine Basis von Mi bildet, kann man eine Teilmenge Bi von Ai finden, sodass Bi eine Basis von Mi ist?
Problem/Ansatz:
b)
1)
\( A_{2}=(1,2,3),(3,0,1) \)
\( \alpha\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( I: \alpha+3 \beta=0 \)
\( I I: 2 \alpha=0 \)
\( =>\alpha=0 \)
\( I I I: 3 \alpha+\beta=0 \)
\( =>\beta=0 \)
dh die Vektoren sind linear unabhängig
2) Da beide lin. unabhängig sind, ist keiner eine Linearkombination des des anderen Vektors. Meine Frage hier ist, benötige ich jetzt noch einen 3. Vektor um diese Basis zu bilden, oder kann ich das auch mit 2 Vektoren?
f)
1)
\( A_{6}=(2,1,0),(1,0,5),(2,2,2),(5,0,1) \)
\( \alpha\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+\delta\left(\begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( I: 2 \alpha+\beta+2 \gamma+2 \delta=0 \)
\( =>2 \alpha+\beta+\alpha+\delta=0,-3 \alpha-\delta=\beta \)
\( I I:-\alpha+2 \gamma=0 \)
\( =>2 \gamma=\alpha \)
\( I I I: \beta+2 \gamma+\delta=0 \)
\( =>-3 \alpha-\delta+\alpha+\delta=0,-2 \alpha=0 \)
Die Vektoren sind meiner Meinung nach linear unabhängig.
2) Wenn die Vektoren lin. unabhängig sind, habe ich trotzdem für meine Basis einen Vektor zu viel, kann das sein?
