Aloha :)
Bei \(F\) rechenn wir die linearen Abhängigkeiten mittels elementaren Spaltenumformungen aus den Vektoren heraus:$$\begin{array}{rrr}+S_2 & \cdot(-1) & \colon2\\\hline1 & -1 & 0\\1 & 0 & 2\\1 & 0 & -2\end{array}\to\begin{array}{rrr}+S_3 & &\cdot(-1)\\\hline0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\1 & 0 & -1\end{array}\to\begin{array}{rrr}\colon2 & &+\frac{1}{2}S_1\\\hline0 & 1 & 0\\2 & 0 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr}\\\hline0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}$$
Wir konnten also die Vektoren des Erzeugendensystems \(F\) auf die Standard-Basis des \(\mathbb R^3\) zurückführen. Daher sind die Vektoren in \(F\) linear unabhängig voneinenader, sodass \(F\) eine Basis ist.
Bei \(G\) ist wegen der \(x\)-Koordinate der beiden Vektoren sofort klar, dass sie linear unabhängig sind. Daher ist das Erzeugendensystem \(G\) ebenfalls eine Basis. Im Gegensatz zu \(F\) spannt diese Basis aber nicht den gesamten \(\mathbb R^3\) auf, sondern nur eine 2-dimensionale Ebene.
