Grenzwertbestimmung von Folgen

Question

Aufgabe: Grenzwert Bestimmung

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Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \geq 0} \) mit
\( a_{n}=n\left(1-\sqrt{\left(1-\frac{a}{n}\right)\left(1-\frac{b}{n}\right)}\right) \)
wobei \( n>\max \{a, b\} \) und \( a, b \in \mathbb{R}^{+} \).

Problem/Ansatz: das Ergebnis weiß ich, nur weiß ich nicht wie ich angeben soll, dass wenn a und b bei kleine zahlen die gegen 0 laufen, dann auch das Ergebnis gegen null laufen lassen. das gleiche andersrum, die dann das ergebniss gegen N laufen lassen

Answer 1

hallo

egal was a und b sind, a/n und b/n gehen immer gegen 0 . d.h. das Ergebnis hängt nicht von a oder b ab.

Was ist denn dein Ergebnis? ich versteh das mit dem N gar nicht.

vielleicht hilft es dir mit (1+√...) zu erweitern

Gruß lul

Comments

n ist immer größer als a oder b, wenn b und a leicht kleiner als n sind läuft a gegen n, wenn a und b leicht größer als 0 sind, läuft a gegen 0. aber wie formuliere ich das für a und b?

Answer 2

Aloha :)

Du kannst den Term für die Folgenglieder etwas umformen:$$a_n=n\left(1-\sqrt{\left(1-\frac an\right)\left(1-\frac bn\right)}\right)=n\left(1-\sqrt{\frac{n-a}{n}\cdot\frac{n-b}{n}}\right)$$$$\phantom{a_n}=n\left(1-\sqrt{\frac{(n-a)(n-b)}{n^2}}\right)=n\left(1-\frac{\sqrt{(n-a)(n-b)}}{\sqrt{n^2}}\right)$$$$\phantom{a_n}=n\left(1-\frac{\sqrt{(n-a)(n-b)}}{n}\right)=n-\sqrt{(n-a)(n-b)}$$Jetzt nehmen wir gleich die 3-te binomische Formel dazu:$$\phantom{a_n}=\frac{(\overbrace{n}^{=a}-\overbrace{\sqrt{(n-a)(n-b)}}^{=b})\cdot(\overbrace{n}^{=a}+\overbrace{\sqrt{(n-a)(n-b)}}^{=b})}{n+\sqrt{(n-a)(n-b)}}=\frac{\overbrace{n^2}^{=a^2}-\overbrace{(n-a)(n-b)}^{=b^2}}{n+\sqrt{(n-a)(n-b)}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^2-(n^2-an-bn+ab)}{n+\sqrt{(n-a)(n-b)}}=\frac{an+bn-ab}{n+\sqrt{(n-a)(n-b)}}=\frac{\frac1n\left(an+bn-ab\right)}{\frac1n\left(n+\sqrt{(n-a)(n-b)}\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\frac1nan+\frac1nbn-\frac1nab}{\frac1n\cdot n+\frac{1}{\sqrt{n^2}}\cdot\sqrt{(n-a)(n-b)}}=\frac{a+b-\frac{ab}{n}}{1+\sqrt{\frac{(n-a)(n-b)}{n\cdot n}}}=\frac{a+b-\frac{ab}{n}}{1+\sqrt{\left(1-\frac an\right)\left(1-\frac bn\right)}}$$

Nun kannst du \(n\to\infty\) gehen lassen und findest als Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{a+b-0}{1+\sqrt{\left(1-0\right)\left(1-0\right)}}=\frac{a+b}{1+\sqrt{1}}=\frac{a+b}{2}$$

Comments

\(a=\dfrac{a+b}2\) ?

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Lol, stimmt, habe ich übersehen... ist korrigiert.

Danke dir ;)