Morse-Potentiale der Form V (r)=(2^-b(r-c)-e^-2b(r-c)) angenähert Wie lautet das Taylorpolynom zweiten Grades von V …

Question

Aufgabe:

Potentialkurven zweiatomiger Moleküle werden häufig durch sog. Morse-Potentiale der Form V (r)=-a *(2^-b(r-c)-e^-2b(r-c)) angenähert Wie lautet das Taylorpolynom zweiten Grades von V (r), wenn die Entwicklung um das Mini- mum von V (r) vorgenommen wird?

Problem/Ansatz:

… ich weiss nicht was ich machen soll

Comments

Dein Potential macht physikalisch keinen Sinn (die Einheiten passen nicht). Ich vermute, du meinst so was in der folgenden Art?$$V(r)=k\cdot\left(2e^{-b(r-c)}-e^{-2b(r-c)}\right)$$

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Ja sorry so ist gemeint

Answer 1

Aloha :)

Das Potential$$V(r)=k\cdot\left(2e^{-b(r-c)}-e^{-2b(r-c)}\right)\quad;\quad k<0$$soll um sein Minimum herum durch eine Parabel (Taylorreihe 2-ter Ordnung) angenähert werden. Dazu formen wir den Ausdruck etwas um:$$V(r)=-k\left(e^{-2b(r-c)}-2e^{-b(r-c)}\right)=-k\left(\left(e^{-b(r-c)}\right)^2-2e^{-b(r-c)}+1-1\right)$$und verwenden nun die 2-te binomische Formel:$$V(r)=-k\left(\left(e^{-b(r-c)}-1\right)^2-1\right)$$

\(V(r)\) ist minimal, wenn das Quadrat \(=0\) ist, wenn also \(e^{-b(r-c)}=1\) bzw. \(r=c\) ist. Damit ist unser Entwicklungspunkt \(r_0=c\).

Wir brauchen hier keine Ableitungen zu bilden, weil die \(e\)-Funktion unter einem Quadrat steht und ihre lineare Näherung \(e^x\approx1+x\) allgemein bekannt ist:

$$V(r)\approx-k\left((\underbrace{1-b(r-c)}_{\approx e^{-b(r-c)}}-1)^2-1\right)=-k\left(b^2(r-c)^2-1\right)$$$$V(r)\approx k\left(1-b^2(r-c)^2\right)$$