Aloha :)
Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\quad;\quad x_0=\sqrt 2$$
1) Beschränktheit
Da die Wurzelfunktion stets \(\ge0\) ist, gilt \((x_n)\ge0\) für alle \(n\in\mathbb N_0\). Die Folge ist also nach durch \(0\) nach unten beschränkt.
Die Folge ist aber auch nach oben beschränkt, nämlich durch den \((x_n)\le2\) für alle \(n\in\mathbb N_0\). Wir zeigen das druch vollständige Induktion. Die Verankerung bei \(n=0\) ist klar, denn \(x_0=\sqrt2\le2\). Im Induktionsschritt rechnen wir so:$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{\le}\sqrt{2+2}=\sqrt4=2\quad\checkmark$$Für alle Folgenglieder gilt also:\(\quad 0\le x_n\le2\quad\text{für alle }n\in\mathbb N_0\).
2) Monotonie
Wir zeigen, dass die Folge monoton wächst:$$x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n=\frac{(\overbrace{\sqrt{2+x_n}}^{=a}-\,\overbrace{x_n}^{=b})(\overbrace{\sqrt{2+x_n}}^{=a}+\,\overbrace{x_n}^{=b})}{(\sqrt{2+x_n}+x_n)}=\frac{\overbrace{2+x_n}^{=a^2}-\,\overbrace{x_n^2}^{=b^2}}{\sqrt{2+x_n}+x_n}$$$$\phantom{x_{n+1}-x_n}=\frac{\frac94-\frac14+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\frac{\frac94-\left(x_n^2-x_n+\frac14\right)}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\frac{\frac94-\left(x_n-\frac12\right)^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}\ge0$$Wegen \(x_n\le 2\) ist \((x_n-\frac12)^2\le\frac94\), sodass der Zähler \(\ge0\) ist. Wegen \(x_n\ge0\) ist auch der Nenner positiv, sodass der Term \(\ge0\) ist.
Daher ist \(x_{n+1}\ge x_n\) und die Folge monoton wachsend.
3) Grenzwert
Jede beschränkte und monotone Folge konvergiert. Da dies auf unsere Folge zutrifft, können wir ihren Grenzwert \(x\) wie folgt bestimmen:$$\left. x=\sqrt{2+x}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left. x^2=2+x\quad\right|-x+\frac14$$$$\left. x^2-x+\frac14=\frac94\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left. \left(x-\frac12\right)^2=\frac94\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left. x-\frac12=\pm\frac32\quad\right|+\frac12$$$$x=\frac12\pm\frac32$$$$x_1=-1\quad;\quad x_2=2$$Die Lösung \(x=-1\) scheidet aus, weil \(0\le x\le2\) gelten muss.
Bleibt als Grenzwert \(x=2\)
