Zu (a):
Die Taylor-Reihe der reellwertigen Funktion \(f|_{\mathbb{R}}\) hat reelle Koeffizienten.
Da eine konvergente Potenzreihe, die \(f\) darstellt, gerade ihre Taylor-Reihe ist,
hat \(f\) die Gestalt \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) mit reellen Koeffizienten
\(a_n\). Wegen der Stetigkeit von \(z\mapsto \bar{z}\) bekommen wir dann
\(f(\overline{z})=\sum a_n\overline{z}^n=\sum\overline{a_n}\overline{z^n}=\sum\overline{a_nz^n}=\overline{f(z)}\)
Zu (b):
Nach Voraussetzung gilt \(g(z):=f(z+\pi i)\in\mathbb{R}\;\forall z\in \mathbb{R}\),
also \(g(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R}\) und \(g\) ist natürlich holomorph.
Wir können daher (a) auf \(g\) anwenden: \(g(\bar{z})=\overline{g(z)}\).
Für \(z\in\mathbb{R}\) gilt daher
\(g(z+\pi i)=\overline{g(z+\pi i)}=g(\overline{z+\pi i})=g(z-\pi i)\).
Für \(h(z):=g(z+\pi i)-g(z-\pi i)\) gilt \(h|_{\mathbb{R}}=0\).
Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt daraus
sogar \(h|_{\mathbb{C}}=0\), also
\(f(z+2\pi i)=g(z+\pi i)=g(z-\pi i)=f(z)\; \forall z\in \mathbb{C}\),
q.e.d
