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Aufgabe:

Gegeben sei die n-te Fibonacci Zahl fn. D.h. f0 = 1 und f1 = 1 es gilt
fn = fn−1 + fn−2.

Beweisen sie durch vollständige Induktion (unter Benutzung der Rekursion) die Gleichung:


\( \sum\limits_{k=0}^{n}{ kf_k = nf_{n+2} − f_{n+3} + 2} \)   



für ganze Zahlen n ≥ 0.


die Gleichung nochmal :  kfk = nfn+2 − fn+3 + 2

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Wo scheiterst du? Verifizierung für n=0,1? aufstellen der Formel für n+1? Einsetzen der Induktionsvors? Verwenden der Rekursion?

Was hast du bisher gemacht?

lul

defintiv beim Verwenden der Rekursion.

Dann zeig mal, wie weit du gekommen bist!

lul

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Σ (k = 0 bis n + 1) (k·f(k)) = (n + 1)·f(n + 1 + 2) - f(n + 1 + 3) + 2

Σ (k = 0 bis n) (k·f(k)) + (n + 1)·f(n + 1) = (n + 1)·f(n + 3) - f(n + 4) + 2

n·f(n + 2) - f(n + 3) + 2 + (n + 1)·f(n + 1) = (n + 1)·f(n + 3) - f(n + 4) + 2

n·f(n + 1) + n·f(n + 2) - n·f(n + 3) + f(n + 1) + f(n + 4) - 2·f(n + 3) = 0

n·(f(n + 1) + f(n + 2) - f(n + 3)) + f(n + 1) + f(n + 4) - 2·f(n + 3) = 0

nutze f(n + 1) + f(n + 2) = f(n + 3) --> f(n + 1) = f(n + 3) - f(n + 2)

n·(f(n + 3) - f(n + 3))  - f(n + 2) + f(n + 4) - f(n + 3) = 0

nutze - f(n + 2) - f(n + 3) = - f(n + 4)

n·(f(n + 3) - f(n + 3)) + f(n + 4) - f(n + 4) = 0

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