Fibonacci Folge mit vollständiger Induktion

Question

hallo zusammen,

ich hab ein ganz schönes problem mit der fibonacci folge. weder mit meinen aufschrieben, noch mit internet konnte ich wirklich weiterkommen.

Und zwar ist die Fibonacci-Folge definiert durch:

a₁=1; a₂=2 ... a_n=a_n-2+a_n-1 

Zeigen sie mit vollständiger Induktion, dass,

$$ a_n= \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } *[(\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } )^{ n }-(\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } )^{ n }] $$

[⇒Formel von Binet]

^{für alle n Element N gilt}

Schon vorab vielen Dank für hilfreiche Tipps und Antworten

Edit(Yakyu): Formel bearbeitet.

Answer 1

wo genau ist das Problem? Zeige den Induktionsanfang für \(n=1 \) und \(n=2\) und wende die IV im IS auf die rechte Seite an:

$$a_{n+1} = a_n + a_{n-1} $$

Rechne zusammen und du bist fertig. (Wenn du den Fall für \(n=2\) konkret gezeigt hast, sollte dir was beim Zusammenrechnen auffallen).

Gruß

Comments

der ganze Ausdruck heißt ja dann

$$ \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } *[(\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } )^{ n }-(\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } )^{ n }] $$ + $$ \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } *[(\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } )^{ n-1 }-(\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } )^{ n-1 }] $$

da der Nenner gleich ist, kann ichs ja zusammenschreiben, aber wie löse ich dann den zähler auf

Gruß

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Wird nicht richtig angezeigt, bitte editieren.

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Ich denke der User meint: 

:)

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Ja ok, jetzt gilt es nur noch durch Ausklammern und zusammenrechnen auf den Term zu kommen, den man zeigen soll.

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Sorry dass ich so spät hier noch einmal etwas schreibe.

Was muss denn bei der IV stehen?

Immer noch dass die Aussage  für ein n∈Ν gelte ? Im IA wurde ja aber n=1 und n=2 genommen.

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Du nimmst hier für den Induktionsschritt an dass die IV für \(n\) und für \(n-1\) gültig ist.