Fibonacci-Zahlen / Beweis mit voll. Induktion

Question

Aufgabe:

Hallo, ich hoffe, ihr könnt mir bei einer Aufgabe weiterhelfen, weil ich total auf dem Schlauch stehe...

Ich muss Folgendes beweisen:

Text erkannt:

\( f_{n+1} f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n} \) für \( n \geqslant 1 \)

Dabei seien f_n mit n größer gleich 0 die Fibancci-Zahlen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich das per vollständiger Induktion machen muss. Aber das hatte ich das letzte Mal vor einigen Jahren und ich komme einfach nicht drauf, wie meine Schritte sind.

Ich hoffe, jemand kann mir behilflich sein. :(

Answer 1

Hallo Nancy,

\(f_{n+1}f_{n−1}−f_n^2=(−1)^n\) für \( n >0 \)

Fibonacci-Folge:

0,1,1,2,3,5,8,...

Induktionsanfang:

n=1

\(f_2f_0-f_1=1\cdot0-1^2=-1=(-1)^{1}\)

Induktionsschritt:

Die Formel gelte für n.

\(f_{n+1}f_{n−1}−f_n^2=(−1)^n\)

\(f_n^2=f_{n+1}f_{n−1}−(−1)^n\)

Zu zeigen: Sie gilt auch für n+1.

\(f_{n+1+1}f_{n+1−1}−f_{n+1}^2\\=f_{n+2}f_{n}−f_{n+1}^2\\=(f_{n+1}+f_n)f_n-f_{n+1}^2\\=f_{n+1}f_n+f_n^2-f_{n+1}^2\\=f_{n+1}f_n+ f_{n+1}f_{n−1} -f_{n+1}^2-(-1)^n\\=f_{n+1}(f_n+ f_{n−1}) -f_{n+1}^2-(-1)^n\\=f_{n+1}f_{n+1}- f_{n+1}^2−(−1)^n\\=-(-1)^n\\=(-1)^{n+1}\)

:-)

Comments

Ach man, jetzt macht es Klick! Ihr seid die Besten, danke!!! :)

Answer 2

Erst mal zeigen, dass es für n=1 gilt.

Dann annehmen, es gäbe ein n für das es gilt #,

und dann zeigen: Es gilt auch für n+1 , also

f_n+2*f_n - f_n+1 ^2 = (-1)^(n+1)  ##

Dazu musst du noch die Rekursionformel

benutzen , also f_n+2=f_n+1+f_n

In die linke Seite von ## eingesetzt also

(f_n+1+f_n)*f_n - f_n+1 ^2 = f_n+1*f_n + f_n^2 - f_n+1^2

= f_n+1( f_n - f_n+1) + fn^2

und  nach die Rek.formel für f_n+1 =f_n+f_n-1

ist in der Klammer - f_n-1 also

=   f_n+1*( -f_n-1) + f_n^2

= -1 * (  f_n+1*f_n-1 - fn^2)

und dann die Induktionsannahme # einsetzen.

Comments

Auch an dich ein großes Danke, ich bin schon echt verzweifelt!