Formel für ∑(-1)^k *k (k=1 bis n) aufstellen und per vollständiger Induktion beweisen

Question

Aufgabe:

Vermuten Sie eine Formel für ∑(-1)^k *k (k=1 bis n) und beweisen Sie diese Formel mittels vollständiger Induktion.

In der Formel kann man die Funktion “Rundung nach oben” verwenden: ⌈x⌉ := die kleinste ganze Zahl m mit x ≤ m, z.B.:

⌈1⌉ = 1, ⌈3/2⌉ = 2 usw.

Problem/Ansatz:

ich bitte um hilfe :)

Answer 1

Hallo :)

Setz doch einfach mal ein paar \(n\) ein und schau, ob eine Regelmäßigkeit auffällt:

Ich schreibe \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^kk\).

für n=1: \(S_1=-1\)

für n=2: \(S_2=1\)

für n=3: \(S_3=-2\)

für n=4: \(S_4=2\)

... und so geht das lustig weiter: -3,3,-4,4, -5,5, ...

Man kann sich aber auch die Reihe genauer ansehen und wird feststellen, dass $$S_{n}=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{n+1}{2}, & \text { falls } n \text { ungerade } \\ \frac{n}{2}, & \text { falls } n \text { gerade }\end{array}\right.$$

Bzw. für die Induktion besser (da du dann nicht zwischen n gerade und n ungerade unterscheiden musst): \(S_n=(-1)^n\left\lceil{n\over2}\right\rceil\). Überzeuge dich, dass da die gleichen Werte herauskommen.

Den Induktionsanfang hast du durch das Rumprobieren schon gemacht. Weißt du, was du beim Induktionsschritt tun musst?

Comments

vielen Dank für die schnelle Rückmeldung und Entschuldigung fürs späte antworten.

Im Induktionsschritt muss ich ja n+1 einsetzen und es beweisen richtig? Um zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gilt richtig?

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Schreib als erstes mal Ind. Vor. und Ind. Beh. vollständig auf. Wie lautet beides?

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Vor: Für ein beliebiges, aber festes k>=1 gilt die Formel ∑(-1)^k *k = (-1)^n * ⌈n/2⌉

Beh: Formel muss auch für n=k+1 gelten.
∑(-1)^k*k = \( (-1)^{(k+1)} \) * ⌈ \( \frac{k+1}{2} \) ⌉

so?

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Naja, im Prinzip. Aber hier geht mit n und k einiges durcheinander, das ist evtl auch das Problem.

Du kannst, um es hier ordentlich zu schreiben, die Formeln von racine... einfach per cut-and-paste hier rüberkopieren (mit entsprechender Anpassung für Ind.Vor./Beh. natürlich).
Versuch mal.

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Vor: Für ein beliebiges, aber festes k>=1 gilt die Formel

∑\( (-1)^{k} \)*k =\( (-1)^{n} \) * ⌈\( \frac{n}{2} \) ⌉

Beh: Formel muss auch für n=k+1 gelten.
∑\( (-1)^{k} \)*k  = \( (-1)^{(n+1)} \) * ⌈ \( \frac{n+1}{2} \) ⌉

hoffe so

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Schon fast gut. Bei den Summen fehlt noch was, ich nehme aber an, das ist Dir klar.

Dann fang mit der linken Seite der Ind.Beh. an, setze Ind.Vor. ein, klammere \((-1)^{n+1}\) aus und für den Rest: Fallunterscheidung.

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ich komme gerade leider nicht weiter. Also die Fallunterscheidung ist mir klar. Einmal ungerade und gerade beweisen. (glaube ich haha)

Aber ich verstehe gerade nicht, wie ich auf der linken Seite der Ind.Beh., die Ind.Vor. einsetze und \( (-1)^{n+1} \) ausklammere. Stehe gerade komplett auf dem Schlauch, sorry.


∑ \( (-1)^{n} \) * ⌈\( \frac{n}{2} \) ⌉ + \( (-1)^{n+1} \) * n+1 

Ist das so richtig mit dem einsetzen?? und wie klammere ich jetzt genau \( (-1)^{n+1} \) aus?

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Ich verstehe allerdings nicht wie ich darauf die Fallunterscheidung setzen soll Tipps wäre sehr hilfreich :)

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Äh, wer bist Du jetzt? Nun ein anderer account?

Ich wende mich weiter an @yxnmateo:
Erstmal fehlen Klammern. Schreib die Summe sauber hin (s.o., ich dachte das ist klar, was fehlt?). Dann Ind. Vor. anwenden und dann \((-1)^{n+1}\) ausklammern.

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ich habe das jetzt alles eingesetzt und habe das raus.

\( (-1)^{n} \) * ⌈\( \frac{n}{2} \)⌉ + \( (-1)^{n+1} \) * (n+1)

= \( (-1)^{n+1} \) * (-1 * ⌈\( \frac{n}{2} \)⌉ + (n+1))
= \( (-1)^{n+1} \) * ((n+1) - ⌈\( \frac{n}{2} \)⌉

und hier dann die fallunterscheidung bei n+1.

ist das so besser?

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Gut und richtig. Ganz am Ende fehlt noch ein ).

Jetzt Fallunterscheidung und schön sorgfältig mit n und n+1, dann sollte es hinkommen.

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nice habs jetzt hinbekommen :)

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Hm, wer denn jetzt? Was soll das mit den zwei accounts? Ich helfe gerne auf einer eins-zu-eins-Basis, aber so geht das für mich nicht (weil ich mich nicht auf ein gegenüber einstellen kann).

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Ich bin das leider nicht. Ist irgendeine andere Person gerade, die ich nicht kenne und sich in unser Gespräch eingemischt hat. Ich habe nur mit diesem Account geantwortet.

Danke für deine Hilfe!

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Ok, gern geschehen, und danke für die Rückmeldung.

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Nach meinem Verständnis ist das ein öffentliches Forum wo sich bei einem Thread jeder beteiligen kann. Ich dachte ich kann zu dem Beitrag etwas beitragen bzw. auch helfen, deswegen habe ich meine Tipps gegeben :D

Wenn ihr eine private "ein zu eins" Unterhaltung sucht, ist dies vielleicht nicht die richtige Plattform :(

Nach meinem Verständnis der Plattform und eurer Logik, hat sich nudger als erstes auf die Antwort von racine_carrée eingemischt...

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Es geht nicht um "privat", und Du hast keine Tipps gegeben, sondern Fragen gestellt.