Taylorentwicklung einer Matrix

Question

Aufgabe:

Führen sie eine Taylorentwicklung der Drehmatrix bis zur 1. Ordnung um den Entwicklungspunkt a=0 durch.

Die Drehmatrix ist gegeben durch:

                                           cos(a)      sin(a)      0

                           Rz(a)=    -sin(a)       cos(a)     0

                                              0                0        0

Ich habe noch nie eine Taylorentwicklung einer Matrix durchgeführt und komme bei meinem Ergebnis auf ein falsches Vorzeichen, was mich etwas verwirrt.

Problem/Ansatz:

Ich habe mich zunächst dazu entschieden die Drehmatrix nach a abzuleiten und den Entwicklungspunkt einzusetzen. Dabei erhalte ich:

                             -sin(a)            cos(a)              0                        0         1        0

               R(a)=   -cos(a)           -sin(a)               0         R(0)=   -1         0       0

                              0                       0                   0                        0         0        0

Anschließend setze ich den Entwicklungspunkt in die ursprüngliche Matrix ein:

                              1     0       0

                   R(0)= 0     1       0

                             0     0       1

Eingesetzt in die Formel für die Taylorentwicklung erhalte ich:

                      1      0      0              0     1     0

            Rz=    0     1      0        +    -1     0     0   *da

                       0      0     1             0        0     0

Laut Wikipedia müsste die 2. Matrix jedoch so aussehen:

                     0       -1      0

            Jz=    1        0      0

                      0         0      0

Keine Ahnung wie man darauf kommen soll. Vielen Dank für jede Hilfe.

Comments

kontrolliere die ableitung es gibt viele online ableitungen die das berechnen zur überprüfung kannst du das machen,

ich verstehe nicht wie du von -cos(0) auf = 0 kommst, da müsste -1 stehen, aber denke liegt daran weil das nicht so schön aufgeschrieben wurde.

Wenn das der fall ist dann denke ich evtl es liegt an der notation, schau dir den https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus an.

Answer 1

In Wikipedia ist die Drehmatrix so definiert $$ R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ und bei Dir

$$ R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

daher der Unterschied.

Ansonsten sind bei Deiner Aufgabenbeschreibung diverse Fehler drin.