Erzeugte Vektorräume

Question

Aufgabe

Zeigen Sie:
a) C ist ein endlich erzeugter R-Vektorraum.
b) R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum.

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) Zeige, dass \(\{1,\mathrm{i}\}\) ein Erzeugendensystem ist.

b) Zeige, dass jeder endlich erzeugte \(\mathrm{Q}\)-Vektorraum abzählbar ist.

Comments

und wie zeigt man dass (1,i) ein erzeugendensystem ist?

---

Man schaut in die Definition von Erzeugendensystem und liest dort, dass sich alle komplexen Zahlen in der Form

        \(\alpha\cdot 1 + \beta\cdot \mathrm{i}\)

mit \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) darstellen lassen. Dann vergleicht man das mit der Definition von \(\mathbb{C}\).