In welchen der folgenden Ringen ist das durch 3 erzeugte Hauptideal maximal?

Question

Aufgabe:

In welchen der folgenden Ringen ist das durch 3 erzeugte Hauptideal maximal?

(a) Z[\( \sqrt{-1} \)] , (b)Z[\( \sqrt{-2} \)]  (c) Z[\( \sqrt{-3} \)]

Ich würde bei (a) aufjedenfall ja sagen, da Z[\( \sqrt{-1} \)]=Z[i] und das ist ein Hauptidealring und in jedem Hauptidealring ist ein Hauptideal, das durch eine Primzahl erzeugt wird ein maximales Hauptideal.

Bei den anderen beiden hab ich etwas schwirigkeiten, kann jemand helfen?

Comments

"und in jedem Hauptidealring ist ein Hauptideal, das durch eine Primzahl erzeugt wird ein maximales Hauptideal."

Das ist falsch; denn z.B. in Z[i] gilt

\(5=(2+i)(2-i)\), d.h. 5 ist reduzibel.

---

5 ist kein Primelement in Z[i]. Ein Ideal ist maximal g. D. Wenn es ein Primideal ist in einem Hauptidealring und Z[i] ist ein Hauptidealring sogar ein euklidischer Ring. Also seine Aussage stimmt.

---

Er hat nicht von einem Primelement gesprochen,
sondern von einem Ideal, das von einer Primzahl
erzeugt wird. Und das Ideal (5) wird von einer Primzahl
erzeugt. Diese ist aber kein Primelement in Z[i].
Seine Aussage ist also falsch.

---

Stimmt, er spricht von Primzahl und nicht von Primelement... Entschuldige :) wenn er Primelement sagt, wäre es korrekt.

Answer 1

Für das zweite hätte ich gesagt: Es ist nicht maximal da du 3 darstellen kannst als 1+\( \sqrt{-2} \) * 1- \( \sqrt{-2} \)

Damit hast du aber ein Ideal gefunden nämlich das von 1+\( \sqrt{-2} \) sodass das Ideal von 3 dort enthalten ist, aber nicht 1+\( \sqrt{-2} \) im Ideal von 3 und somit das Ideal von 3 nicht maximal sein kann, da ist nicht einmal Primideal ist.

Ähnlich die letzte Aufgabe: 3= - \( \sqrt{-3} \) * \( \sqrt{-3} \)..... Gleiche Spiel wie eben

Answer 2

Wegen \(3=-\sqrt{-3}\cdot \sqrt{-3}\) ist bei (c) das Ideal (3) nicht
maximal; denn \((3)\subsetneq (\sqrt{-3})\)