Zeigen Sie die folgende Minimaleigenschaft des Erwartungswertes einer (endlichen) Zufallsvariable X :

Question

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen und mir den Beweis dazu erklären?

Text erkannt:

Zeigen Sie die folgende Minimaleigenschaft des Erwartungswertes einer (endlichen) Zufallsvariable \( X \) :
\( E X=\underset{a \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}} E(X-a)^{2} \)
Hinweis: Verwenden Sie Methoden der Differenzialrechnung.

Answer 1

Sei $$ F(a) = \mathbb{E}(X-a)^2 = \mathbb{E}(X^2) - 2a \mathbb{E}(X) + a^2 $$ und daraus

$$ F'(a) = - 2 \mathbb{E}(X)  + 2 a = 0 $$ also $$ a = \mathbb{E}(X) $$ und $$ F''(a) =  2 > 0 $$

Also ist \( F(a) \) minimal für \( a = \mathbb{E}(X) \)