Liebe Lounge,
ich habe eine Frage zur Interpretation des Erwartungswertes einer Zufallsvariable X.
Betrachtet wir dazu folgendes Zufallsexperiment: Eine faire Münze wird 10 mal geworfen. X sei die Anzahl an Kopftreffern.
p= 0,5.
Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, gilt E(X)=0,5*10=5.
Nun kenne ich die folgende Interpretation des Wertes: Wenn man "unendlich oft" 10mal die Münze wirft, so wird man im Schnitt 5 Kopftreffer pro Spiel erhalten (Gesetzt der großen Zahlen). Erklärbar dadurch, dass bei sehr vielen Wiederholungen die relative Häufigkeit sich dem Wert 1/2 annähert, welches ja auch die Wkeit für einen Kopftreffer ist.
Das bedeutet nicht, dass in jedem Spiel 5 Treffer erwartet werden können. Sprich es können auch 0 oder 10 sein, was natürlich sehr unwahrscheinlich ist.
Verbessert mich bitte, falls das bislang nicht korrekt war.
Was ich jetzt allerdings nicht ganz verstehe ist das Folgende:
Angenommen man wirft jetzt 10.000 mal und fragt sich nach der Wkeit für 5000 Treffer, dann würde man nach obiger Vermutung denken, dass die Wkeit für genau 5000 Treffer jetzt relativ hoch sein müsste.
Das ist allerdings ganz und gar nicht der Fall. Genaugenommen ist die Wkeit von 10.000 Versuchen 5000 mal Kopf zu treffen viel geringer, als von 10 Würfen 5 mal Kopf zu treffen.
Ist das jetzt nicht konträr zu dem, was der Erwartungswert einer Zufallsvariable eigentlich aussagt?
Meine Idee: Da wir ungleich mehr Versuchsausgänge haben, wird jeder Versuchsausgang viel unwahrscheinlicher. Die relative Häufigkeit der Kopftreffer nähert sich nur "ungefähr" der Wahrscheinlichkeit von 0,5. Deshalb ist auch nicht vorhersehbar, dass GENAU 5000 von 10.000 Würfen Kopf zeigen. Vielmehr ist wahrscheinlich, dass die absoluten Häufigkeiten in einem Bereich liegen. Gemäß der Sigma-Regeln nämlich ungefähr mit einer Wkeit von 68% zwischen 4950 und 5050. Und sogar mit 95% zwischen 4900 und 5100.
Was sagt ihr dazu!?
Vielen Dank und noch einen schönen Sonntag!
