Eigenschaften des Erwartungswertes, kurze Fragen

Question

Ich schaue mir nun nach dem Ende des Semesters bereits vor der Modulwahl einige Module etwas genauer an. Von einem höheren Semester habe ich eine alte Beispielklausur zu dem Modul Statistik erhalten. Ich hänge aktuell an dieser Klausur und stecke bei den folgenden Aufgaben fest:

f) Ist die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariable \( X \) stetig differenzierbar, so besitzt \( X \) eine Dichte.

g) Sei \( X \) eine positive Zufallsvariable. Dann existiert \( \mathrm{E} X \).

h) Seien \( X \) und \( Y \) reellwertige Zufallsvariablen, und es existieren \( \mathrm{E}|X|, \mathrm{E}|Y| \). Dann existiert \( \mathrm{E} X+Y \)

i) Seien \( X \) und \( Y \) reellwertige Zufallsvariablen und \( \mathrm{E}\left[X^{2}+Y^{2}\right]<\infty . \) Dann ist \( |\mathrm{E} X Y| \leq \) \( \mathrm{E} X^{2}+\mathrm{E} Y^{2} \)

j) Sind \( X \) und \( Y \) gemeinsam normalverteilt und unkorreliert, dann sind sie unabhängig.

Es geht dabei darum, ob die Aussagen wahr sind, mich interessiert jedoch auch die Erklärung und ob ich sie nachvollziehen kann.

Für f) bin ich mir relativ sicher, dass dies nur bedingt richtig ist. Soweit ich es bisher gelesen habe, reicht es wenn die Verteilungsfunktion differenzierbar ist, sie muss nicht stetig differenzierbar sein. Somit erhält man dann bereits die Dichtefunktion oder?

Bei g) habe ich das Internet durchforstet und das hier gefunden https://math.stackexchange.com/q/768501/186146 also scheint es nicht korrekt zu sein. Stimmt das? Und kann man das auch etwas einfacher erklären?

Nun h) verstehe ich absolut nicht, hier müsste doch selbst ohne die Betragsstriche bereits gelten das es wahr ist, aufgrund der Linearität des Erwartungswertes oder sehe ich das falsch?

Leider sagt i) mir absolut gar nichts, hier kann ich höchstens vermuten das man mit der Dreiecksungleichung argumentieren muss. Wie genau weiß ich jedoch nicht.

Bei j) habe ich das hier gefunden, doch auch das verstehe ich nicht ganz. Lediglich das die Aussage somit scheinbar falsch ist, wenn ich nichts überlesen habe.

Answer 1

f) ist richtig. Es reicht sogar, wenn die Verteilungsfunktion überall stetig und höchstens an abzählbar vielen Punkten nicht differenzierbar ist. Dies gilt jedoch insbesondere für stetig differenzierbare Funktionen, insofern ist die Aussage richtig.

g) Nach der geläufigen Definition des Erwartungswertes ist die Aussage falsch, denn der Erwartungswert kann unendlich sein. Betrachte z.B. die Zufallsvariable \(X\) mit \(P(X=2^k) = 2^{-k},~k\in\mathbb{N}\). Dann gilt \(X>0\) und \(E[X] = \sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty\), d.h. der Erwartungswert existiert nicht.

h) Es gilt wegen der Dreiecksungleichung und der Linearität des Erwartungswertes \(E[|X+Y|] \leq E[|X|+|Y|] = E[|X|] + E[|Y|] < \infty \). Also existiert \(E[X+Y]\).

i) Wenn mich nicht alles täuscht gilt für beliebige reelle Zahlen \(|xy| = |x||y| \leq \max(x^2, y^2) \leq x^2 + y^2\). Damit folgt

$$ |E[XY]| \leq E[|XY|] \leq E[X^2 + Y^2] = E[X^2] + E[Y^2] $$

d.h. die Aussage ist richtig.

j) Die Aussage ist richtig. Wenn der Zufallsvektor \((X,Y)\) einer multivariaten Normalverteilung folgt und die beiden Variablen unkorreliert sind, so bedeutet dies, dass die Kovarianzmatrix eine Diagonalmatrix ist. Einsetzen in die Dichte der multivariaten Normalverteilung ergibt dann sofort, dass die gemeinsame Dichte von \((X,Y)\) dem Produkt der Dichten von \(X\) und \(Y\) entspricht und dies impliziert Unabhängigkeit.