Graph der Funktion f(x) = √4x wird an Geraden f(x) = x gespiegelt. Flächeninhalt zwischen Original- und Bildgraph?

Question

Der Graph der Funktion f(x) = √4x wird an der Geraden f(x) = x gespiegelt. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die Original- und Bildgraph einschließen? (Fertigen Sie eine Skizze an!)

Analysis, Klasse 11

Answer 1

Kannst du keine Skizze selber machen?

~plot~ x;sqrt(4x);1/4*x^2;[[-1|9|-1|6]] ~plot~

Answer 2

Hinweis:Eine Umkehrfunktion wird an der Geraden y=f(x)=1*x gespiegelt

1) die Umkehrfunktion ermitteln

2) die Schnittstellen beider Funktionen ermitteln

3) die eingeschlossene Fläche ermitteln

f(x)=Wurzel(4*x)  Umkehrfunktion x=Wurzel(4*y)  nach y umstellen

x²=4*y

Umkehrfunktion fu(x)=1/4*x²

gleichgestzt

1/4*x²=Wurzel(4*x) quadriert

1/16*x^4=4*x

0=1/16*x^4-4*x=x*(1/16*x³-4)  x1=0  weitere Nullstelle 0=1/16*x³-4

x³=4*16=64

x2=3.te Wurzel(64)=4

Fläche zwischen 2 Graphen A=Integral(f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

Aus der Zeichung entnehmen wir: f(x)=Wurzel(4*x) und g(x)=1/4*x²

A=Integral((Wurzel(4*x)) - (1/4*x²)=Int.(Wurzel(4*x)-1/4*x²)*dx

A=Int.((4*x)^(0,5)-1/4*Int.(x²*dx)

F(x)=Int.(4*x)^(0,5)  Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=Integarl(f(z)*dz*1/z´)

Substitution z=4*x abgeleitet z´=dz/dx=4 → dx=dz/4

F(x)=Int.(z^(0,5)*dz*1/4=1/4*z^(0,5+1)*1/(0,5+1)=1/6*(4*x)^(3/2)

F(x)=1/6*Wurzel((4*x)³)-1/12*x³+C

A=obere Grenze minus untere Grenze  xo=4 und xu=0

A=(1/6*Wurzel(4*4)³)-1/12*4³) - (0)=5,333..FE

A=5 1/3 FE (Flächeneinheiten)