schnittpunkt original y=x^2 gespiegelt an punkt (2,6)

Question

wie lautet der schnittpunkt, wenn das original y=x^2 am punkt (2,6) gespiegelt wird

bitte mit lösungsweg

vielen dank :)

Answer 1

Spiegele den Scheitelpunkt in \((0|0)\) an \((2|6)\) das ist dann \((4|12)\) und 'konstruiere' daraus eine nach unten geöffnete Parabel mit gleichem \(|a|=1\) vor dem \(x^2\) - also in der Scheitelpunktform:

$$y^*(x) = -(x-4)^2 +12=-x^2 + 8x -4$$

Gruß Werner

Comments

Die allgemeine Lösung ist auch interessant: Gegeben sei \(y=f(x)\) und gesucht eine Funktion \(s(x)\), die der Punktspiegelung am Punkt \((u|v)\) entspricht. Den gespiegelten Punkt bezeichne ich mit \((x^*|y^*)\) dann ist immer

$$\frac12(x+x^*) = u \quad \Rightarrow \space x^*=2u-x$$

und

$$\frac12(y+y^*)= v$$

Daraus folgt dann

$$\frac12 (f(2u-x) + s(x) ) = v \quad \Rightarrow s(x) =2v-f(2u-x)$$

Das setze ich hier ein und erhalte:

$$s(x)=2\cdot(6) - (2 \cdot(2) - x )^2= -x^2 +8x - 4$$

.. kommt natürlich das gleiche raus.

Gruß Werner

Answer 2

Heißt das vielleicht: Wie lautet der Scheitelpunkt, wenn das Original y=x² am Punkt (2,6) gespiegelt wird?

Dann muss der Scheitelpunkt des Originals (0|0) an (2|6) gespiegelt werden. Das ergibt (4|12) als Scheitelpinkt des Bildes (eine nach unten geöffnete Normalparabel).

Answer 3

y = x^2

Wenn wir den Scheitel an (2|6) spiegeln, dann liegt der neue Scheitel bei (4|12)

Also

y = -(x - 4)^2 + 12

Schnittpunkte

x^2 = -(x - 4)^2 + 12 --> x = x = 0.586 oder x = 3.414

y = 0.586^2 = 0.343

y = 3.414^2 = 11.655

Skizze

~plot~ x^2;-(x-4)^2+12;{0.586|0.343};{3.414|11.655};[[-5|5|-20|20]] ~plot~