Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper. Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( K[X]_{n}:=\{P \in K[X] \mid \operatorname{deg}(P) \leq n\} \subset K[X] \operatorname{der} \) Untervektorraum der Polynome vom Grad höchstens \( n \).
(a) Zeigen Sie, dass \( B:=\left\{1, X, X^{2}, \ldots, X^{n}\right\} \) eine Basis von \( K[X]_{n} \) ist.
(b) Sei \( U_{1}:=\left[X^{2}+X+1, X+1\right] \) und \( U_{2}:=[X] \). Zeigen Sie, dass die Summe \( U_{1} \oplus U_{2} \) direkt ist und dass \( U_{1} \oplus U_{2}=K[X]_{2} \).
Problem:
Also, mit a) hatte ich keine Probleme, aber ich bräuchte Hilfe bei b). Wäre sehr dankbar, wenn jemand mir hilft:
