Aloha :)
Der Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert \(n\to\infty\) von folgendem Ausdruck:
$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\left|\frac{\frac{2n+3}{(n-2)^2}}{\frac{2(n+1)+3}{((n+1)-2)^2}}\right|=\left|\frac{\frac{2n+3}{(n-2)^2}}{\frac{2n+5}{(n-1)^2}}\right|=\frac{2n+3}{(n-2)^2}\cdot\frac{(n-1)^2}{2n+5}=\frac{2n+3}{2n+5}\cdot\frac{(n-1)^2}{(n-2)^2}$$$$\phantom{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|}=\left(\frac{2n+5-2}{2n+5}\right)\cdot\left(\frac{n-2+1}{n-2}\right)^2=\left(1-\frac{2}{2n+5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n-2}\right)^2\to1$$Der Konvergenzradius ist also \(r=1\).
Die Potenzreihe konvergiert daher für: \(\quad|x|<1\quad\text{bzw.}\quad-1<x<1\)
Theoretisch könnte die Potenzreihe auch noch an den Rändern \(x=-1\) und \(x=1\) konvergieren.
Für \(x=1\) divergiert die Potenzreihe, weil die harmonische Reihe divergiert:$$p(1)=\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{2n+3}{(n-2)^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2(n+2)+3}{((n+2)-2)^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2n+7}{n^2}>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{n^2}=2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1n\to\infty$$
Für \(x=-1\) konvergiert die Potenzreihe:$$p(-1)=\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{2n+3}{(n-2)^2}(-1)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+7}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac2n+\frac7{n^2}\right)<\infty$$nach dem Leibnitz-Kriterium, weil \(\left(\frac2n+\frac7{n^2}\right)\) eine monoton fallende Nullfolge ist (beide Nenner werden mit wachsendem \(n\) größer, sodass beide Brüche kleiner werden).
Die Konvergenzreihe konvergiert also für:\(\quad-1\le x<1\)
