Vollständige Induktion, Ungleichung mit Summenzeichen

Question

Aufgabe:

$$2 \sqrt{n + 1} - 2<\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt k}≤ 2 \sqrt n -1$$

Problem/Ansatz:

Guten Abend, kann mir jemand bitte bei der Aufgabe mit vollständiger Induktion helfen? Ich hab vorgehabt die Ungleichungen aufzuteilen und zuerst die erste Ungleichung zu beweisen, komme allerdings beim Induktionsschritt nicht weiter. Wäre euch dankbar, wenn ihr mit dabei weiter helfen könntet. LG.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie für alle n ∈ \mathbf{Z}^{+}

Stichworte: analysis

Aufgabe:

. Zeigen Sie für alle \( n \in \mathbf{Z}^{+} \)
\( 2 \sqrt{n+1}-2<\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 \sqrt{n}-1 . \)

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Welchen der beiden Induktionsbeweise kannst du nicht?

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Leider nicht

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$$2 \sqrt{n + 1} - 2<\sum\limits_{k=1}^n ...≤ 2 \sqrt n  -1$$

Hallo,

da fehlt etwas.

:-)

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Ohh stimmt, danke für den Hinweis.

... = 1/√k

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Leider nicht

Streng genommen ist das keine mögliche Antwort auf abakus' Frage

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte im Induktionsschritt:

$$ \underline{(2\cdot \sqrt{n+1}-2)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}}\stackrel{(IV)}{<}\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\right)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\[15pt]=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}}\\[15pt]=\left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\right)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\stackrel{(IV)}{\leq}\underline{(2\cdot \sqrt{n}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}} $$

Ziel ist es

$$ 2\cdot \sqrt{(n+1)+1}-2<\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}}\leq 2\cdot \sqrt{n+1}-1 $$

zu zeigen. Addiere nun bei beiden unterstrichenen Termen eine ,,geschickte" Null dazu und nutze \(\sqrt{a\cdot b}\leq \frac{a+b}{2}\) für alle \(a,b\in \mathbb{R}_{\geq 0}\) aus.

Comments

Danke erstmal für die ausführliche Antwort, was genau meinst du mit geschickter null? Also einfach eine null dazu addieren, bringt mir ja nicht viel oder?

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Ich meine sowas:

linke Seite \(2\cdot \sqrt{(n+1)+1}-2\cdot \sqrt{(n+1)+1}\)

rechte Seite \(2\cdot \sqrt{n+1}-2\cdot \sqrt{n+1}\)

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Ahh okay, aber darf ich das den? Also einfach die Ungleichung verändern.

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Durch Addition einer Null änderst du garnichts am Ergebnis.

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Ah ok super danke, was genau meinst du mit nutze √a*b ...?

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Diese Abschätzung erscheint mir jedenfalls hilfreich. Wie weit bist du gekommen?