Wie zeichnet man das Hasse-Diagramm zu einer Relation R

Question

Aufgabe:

Wir betrachten Relationen über den Mengen \( \mathcal{P}(\{1,2,3\}) \).
a) Wir definieren die Halbordnung
\( R=\{(A, B) \mid A, B \in \mathcal{P}(\{1,2,3\}) \) und \( A \subset B ; \) oder \( A=B\} . \)
Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm zu R.
b) Wir definieren die Halbordnung
\( S=\{(A, B) \mid A, B \in \mathcal{P}(\{1,2,3\}) \) und \( |A| \leq|B| \) und \( \forall x \in A \) und \( y \in B \) gilt \( x \leq y ; \) oder \( A=B\} . \)
Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm zu S.
c) Zeigen oder Widerlegen Sie: \( R \cup S \) ist eine Halbordnung.

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie sowas geht, Hilfe?

Answer 1

\( R=\{(A, B) \mid A, B \in \mathcal{P}(\{1,2,3\}) \) und \( A \subset B ; \) oder \( A=B\} . \)

1. Schreibe die Menge {1,2,3} auf ein Blatt Papier.
2. Schreibe in eine darunter liegende Zeile die zweielementigen Teilmengen von {1,2,3}. Zeichne von jeder diesen Mengen eine Linie zu {1,2,3}.
3. Schreibe in eine darunter liegende Zeile die einelementigen Teilmengen von {1,2,3}. Zeichne von jeder diesen Mengen eine Linie zu jeder ihrer Obermengen in der darüberliegenden Zeile.
4. Schreibe in eine darunter liegende Zeile die leere Menge. Zeichne von der leeren Menge aus eine Linie zu jeder Menge der darüberliegenden Zeile.

Grund warum das so gemacht wird steht in Wikipedia-Artikel über Hasse-Diagramme.