Divergenz von Folge beweisen

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) Folgen in \( \mathbb{R} \). Beweise oder widerlege:

(b) \( \left(b_{n}\right) \) Nullfolge, \( b_{n} \neq 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \Longrightarrow\left(\frac{1}{b_{n}}\right) \) nicht konvergent.

Problem/Ansatz:

beweise ,dass diese Folge divergent ist???

Answer 1

(b) \( \left(b_{n}\right) \) Nullfolge, \( b_{n} \neq 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Benutze die Grenzwertdefinition für ε=1/k:

==>   Für alle k ∈ℕ existiert ein N∈ℕ mit n>N ==>  |bn| < 1/k

                             ==>      k *  | b_n |   < 1

                            ==>     1 /  | bn |    >   k

also ist 1 / | bn | nach oben unbeschränkt im Widerspruch zu:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.