Sei A eine n × n-Matrix mit den Einträgen aij , 1 ≤ i, j ≤ n.Angenommen, es gilt aij = 0 für alle i > j und aii ≠ 0 für alle i.
Zeigen Sie, dass A invertierbar ist.
Die Matrix lebt hierbei natürlich über einem Körper. Für allgemeine Ringe ist diese Aussage falsch!
Wenn du einen elementaren Beweis als die unten vorgeschlagenen suchst (z.B. weil ihr in eurer Vorlesung gerade die in den Beweisen verwendeten Aussagen selbst herleiten müsst):
Versuche es mit Induktion über n und Laplace-Entwicklung!
Die Determinante ist das Produkt der aii .
Die sind alle ungleich 0, also auch ihr
Produkt. Und det(A)≠0 ==> A invertierbar.
Eine Matrix mit den angegebenen Eigenschaften
befindet sich bereits in Zeilenstufenform,
siehe z.B.: https://www.mathebibel.de/zeilenstufenform
Da sie keine Nullzeile enthält,
ist ihr Zeilenrang=Spaltenrang=n maximal.
Eine quadratische Matrix mit maximalem Rang ist invertierbar.
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