Zeigen Sie, dass F invertierbar ist

Question

Aufgabe:

Sei p ∈ K[x], s.d. p(0) ≠ 0, und sei F ∈ End_K(V), s.d. p(F) = 0.
Zeigen Sie, dass F invertierbar ist.

Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

\( p \) ist also von der Form
\( p=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, \quad a_{i} \in \mathbb{K}[x] \)
wobei wegen \( p(0) \neq 0 \) gilt, dass \( a_{0} \neq 0 \) ist. Setzen wir nun die Matrix \( F \) ein und benutzen das in der Aufgabe gegebene ergibt sich
\( \begin{aligned} p(F)=0 & \Longleftrightarrow \sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} F^{i}=0 \\ & \Longleftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} F^{i}=-a_{0} F^{0}=-a_{0} \mathbf{I} \\ & \Longleftrightarrow-\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{a_{0}} F^{i}=I \\ & \Longleftrightarrow F\left(-\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{a_{0}} F^{i-1}\right)=I \end{aligned} \)
Insbesondere gilt also
\(\begin{aligned} \mathrm{F}^{-1}=-\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{a_{0}} F^{i-1}\end{aligned} \)