Binomialkoeffizienten: k, n ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n.

Question

Aufgabe:

Seien k, n ∈ N₀ mit 0 ≤ k ≤ n. Beweisen Sie die folgende Aussage ohnevbinomischen Lehrsatz zu verwenden:

Text erkannt:

Gibt es \( 1 \leq r \leq n-1 \) mit \( \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n \\ r-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ r+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right) \), dann ist \( n+2=m^{2} \) für ein \( m \in \mathbb{Z} \).

Problem/Ansatz:

Ich bin seit 4 Stunden mit dieser Aufgabe dabei aber ich kriege es nicht hin. Ich möchte einfach weinen. Bitte helfen Sie mir! Das bedeutet viel für mich.

Comments

Ich bitte euch um Hilfe

BITTE!!!

Answer 1

Die Gleichung ist äquivalent zu$$2{n\choose r}={n\choose{r-1}}+{n\choose {r+1}}\quad (*)$$

Es ist $${n\choose{r-1}}=\frac{r}{n-r+1}\cdot{n\choose r}$$, ferner $${n\choose{r+1}}=\frac{n-r}{r+1}\cdot{n\choose r}$$Aus \((*)\) folgt$$2=\frac{r}{n-r+1}+\frac{n-r}{r+1}$$Wir nennen \(n-r=s\), dann ist diese Gleichung

äquivalent zu$$\frac{r}{s+1}+\frac{s}{r+1}=2$$Nach ein bisschen Umformerei erhält man$$r^2-2rs+s^2=r+s+2=n+2$$also $$(r-s)^2=n+2$$q.e.d.