Zeigen Sie unter der Verwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums die Stetigkeit der Funktion f: ℝ → ℝ, x \mapsto x^{3}+2 …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie unter der Verwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums die Stetigkeit der Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{3}+2 x-1 \) in \( x_{0}=1 \).

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits angefangen bzw. versucht ein passendes Delta zu finden, nur bleibe ich beim letzten Schritt stecken, wie kann man weitermachen?

Nebenrechnung:

\( \begin{aligned}\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=&|f(x)-f(1)|=\left|x^{3}+2 x-1-2\right|=\\=&\left|x^{3}+2 x-3\right|=\left|(x-1)\left(x^{2}+x+3\right)\right|= \end{aligned} \) \(|x-1|\left|x^{2}+x+3\right| \)
\( <\delta\left|x^{2}+x+3\right| \)

Answer 1

\(x^2+x+3\) wächst monoton im Intervall \([0,2]\), d.h.

dort nimmt es max. den Wert 9 an. Bei vorgegebenem \(\epsilon\)

kannst du also \(\delta=min(1, \epsilon/9)\) wählen.

Comments

Also ich hab jetzt versucht deine Angaben nachzuvollziehen:

Ich denke du hast zuerst nach einer Möglichkeit gesucht, diesen Term |x^2+x+3| irgendwie nach oben abzuschätzen. Dafür hast du Delta <=1 gewählt, aber da nach Voraussetzung |x-1|<Delta gelten muss, folgt aus der Wahl von Delta |x-1|<1. Diese Ungleichung muss man für x lösen, welche wäre: \(x \in\) [0;2].

Es folgt dann damit: \(x^2+x+3 \in\) [3;9] und damit |x^2+x+3| <= 9.

Dann folgt bei der Stelle, wo ich gestoppt habe: <= delta * 9

Wählen wieder ein delta: d<= epsilon/9

--> <= delta * 9 <= 9 * epsilon/9 = epsilon und damit erhält man die beiden Delta zusammengefasst in der min-Schreibweise.

Ist meine Interpretation richig? Also ist mein "Rechenweg" stimmig?

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Ja. Ich denke, dass du mein Vorgehen richtig interpretiert hast :-)

Answer 2

Hallo

der Trick ist immer erstmal delta <= z.B 0.5 oder 0.1 zu wählen, damit kannst du dann |x^2+2x-3| abschätzen wegen x=1±0,1

am Ende rechnet man daraus ei n neues delta aus und hat dann delta=min(delta(epsilon),0.1)

Gruß lul