Vektorraum, Funktionen, Basis

Question

Bsp : Gegeben seien folgende Funktionen auf ℝ:
f(t) = sin(t)², g(t) = cos(t)² und h(t) = 1.
Geben Sie eine Basis des Untervektorraums vom ℝ-Vektorraum ℝ^ℝ an, der durch
f, g und h erzeugt wird.

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo

eigentlich steht da  mit f,g, (denn f+g=h)  natürlich auch f und h oder g und h  schon eine Basis, allerdings, was mit ℝ^ℝ gemeint ist weiss ich nicht es ist ein UVR der reellen Funktionen, oder der stetigen Funktionen,

Gruß lul

Comments

\(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) ist die Menge der Abbildungen \(\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\).

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Danke, das war ja auch meine Annahme.

lul

Answer 2

Du solltest auf jeden Fall zeigen, dass

f ung g linear unabhängig sind.

Comments

Also mein Beweis lautet folgendermaßen :

Angenommen : 0 = a * sin^2(t) + b *cos^2(t), wobei a,b ∈ ℝ beliebig sind.

                  Für t = 0 : 0 = a * 0 + b * 1 → b = 0

                  Für t = π/2 : 0 = a * 1 + b * 0 → a = 0

Da a=b=0 die einzigen Werte sind, bei der wir als Ausganswert "0" bekommen, wissen wir das sin^2(t) und cos^2(t) linear unabhängig sind und somit sind sie auch eine Basis, dim = 2.

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Prima! Damit ist der Beweis erbracht :-)