bestimmtes Integral bilden

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{-5}^{5} \) (2x-4)^3 dx

F(x) = 2*1/4 ^4 + 4x + c

Problem/Ansatz:

Hallo miteinander,

habe ich das richtig aufgeleitet?

Falls nicht, könnte mir das jemand nochmal erklären?

Comments

Steht das so in der Aufgabe: ∫-5 und 5 (2x-4)^3 dx?

Answer 1

\( \int(2 x-4)^{3} \cdot d x \)
Substitution
\( 2 x-4=u \)
\( \begin{array}{l} x=\frac{u}{2}+2 \\ d x=\frac{1}{2} \cdot d u \\ \int(2 x-4)^{3} \cdot d x=\int u^{3} \cdot \frac{1}{2} d u=\frac{1}{4} u^{4} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8} u^{4} \end{array} \)
Resubstitution :
\( \int \limits_{-5}^{5}(2 x-4)^{3} \cdot d x=\left[\frac{1}{8} \cdot(2 x-4)^{4}\right]_{-5}^{5}=\left[\frac{1}{8} \cdot(2 \cdot 5-4)^{4}\right]-\left\{\frac{1}{8} \cdot[2 \cdot(-5)-4]\right\}=\frac{655}{4} \)

Answer 2

Aloha :)

Leider wird das kleine "\(dx\)" bei Integralen viel zu oft übersehen. Oftmals wird es sogar schon ganz weggelassen. Dabei ist das für die Rechnung sehr hilfreich.$$I=\int\limits_{-5}^5\left(2x-4\right)^3dx$$Wenn wir den Term in der Klammer ableiten, bekommen wir:$$\frac{d(2x-4)}{dx}=2\quad\text{bzw.}\quad dx=\frac12d(2x-4)$$Damit können wir im Integral \(dx\) durch \(\frac12\,d(2x-4)\) ersetzen und anstatt über \(x\) zu integrieren können wir über \((2x-4)\) integrieren:$$I=\int\limits_{-5}^5\frac12(2x-4)^3d(2x-4)=\left[\frac12\cdot\frac{(2x-4)^4}{4}\right]_{-5}^5=\left[2(x-2)^4\right]_{-5}^5=-4640$$Wenn dir das zu viel Schritte auf einmal waren, kannst du in dem Integral auch \((2x-4)\) durch eine neue Variable \(u\) ersetzen, musst dann aber auch die Integrationsgrenzen neu setzen:$$u\coloneqq 2x-4\quad\implies\quad u(-5)=-14\;;\;u(5)=6$$Das sieht dann so aus:$$I=\int\limits_{-14}^6\frac12u^3\,du=\left[\frac{u^4}{8}\right]_{-14}^6=-4640$$