Beweise aufstellen Formulierung

Question

Aufgabe:

Weisen Sie nach, dass eine Gerade \( g=\left(a_{1}, a_{2}\right)+\mathbb{R}\left(v_{1}, v_{2}\right) \) in \( \mathbb{R}^{2} \) gleich der Menge

\( A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid \alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}=\beta\right\} \)
für geeignete \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta \in \mathbb{R} \) mit \( \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \neq(0,0) \) ist.

Hinweis: Nehmen Sie an, dass \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \in g=\left(a_{1}, a_{2}\right)+\mathbb{R}\left(v_{1}, v_{2}\right) \). Dies führt Sie zu zwei Gleichungen die Sie zu einer vereinfachen sollten. Bestimmen Sie dadurch \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta \in \mathbb{R} \) in Abhängigkeit von \( a_{1}, a_{2}, v_{1} \) und \( v_{2} \). Zeigen Sie mit dieser Wahl, dass \( g=A \) als Mengen.

Problem/Ansatz:

Wäre einer so lieb und würde mir sagen wie man solche Beweise aufstellt ? Wie man am besten vor gehen könnte

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Algebra | Gerade g = Menge A

Stichworte: lineare-algebra,gerade,mengen,gleichungen,gleichheit

Ich soll nachweisen, dass eine Gerade g = (a1, a2) + ℝ(v1 , v2) in ℝ²  gleich der Menge:

A = {(x1 , x2) ∈ ℝ² | α1 x1 + α2 x2 = β}

für geeignete α1, α2, β ∈ ℝ mit (α1, α2) ≠ (0,0) ist.

Ich soll dann noch berücksichtigen, dass (x1, x2) ∈ g = (a1, a2) +  ℝ(v1 , v2).

Ich soll dann 2 gleichungen kriegen die ich zu einer umformen soll und α1, α2, β ∈ ℝ in abhängigkeit von a1, a2 ,v1 und v2 bestimmen. Dann soll ich noch zeigen, dass mit dieser Wahl, g = A als Mengen.

ich weiß nicht genau wie ich auf diese 2 Gleichungen komme.

Könnte mir jemand das erklären?

Answer 1

\( \left(x_{1}, x_{2}\right) \in g\)

Das heißt es gibt ein \(r\in \mathbb{R}\), so dass

        \(\left(x_{1}, x_{2}\right) = (a_1,a_2) + r\cdot\left(v_1,v_2\right)\)

ist. Betrachtet man die Komponenten einzeln, dann muss also

        \(\begin{aligned}&&x_1&=a_1 + r\cdot v_1\\&\text{und}&x_2&=a_2+r\cdot v_2\end{aligned}\)

gelten. Letztere sind die zwei Gleichungen, von denen die Rede ist.

Comments

und wie kommt man da weiter?

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Bestimmen Sie dadurch \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta \in \mathbb{R} \) in Abhängigkeit von \( a_{1}, a_{2}, v_{1} \) und \( v_{2} \).

Insbesondere soll das \(r\) nicht mehr vorkommen. Forme eine Gleichung nach \(r\) um und setze in die andere Gleichung ein.

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Dann bekomm ich doch für r = (x1 - a1)v2 inwieweit kann ich das nutzen um \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta \in \mathbb{R} \) in Abhängikeit von \( a_{1}, a_{2}, v_{1} \) und \( v_{2} \) zu bestimmen? So wie du das formulierst scheint dass ja offensichtlich zu sein aber ich verstehe den Zusammenhang gar nicht

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und setze in die andere Gleichung ein.

Das ergibt

        \(x_1 = a_1 + \frac{x_2-a_2}{v_2}v_1\)

was sich umformen lässt zu

        \(1x_1 + \left(-\frac{1}{v_2}\right)x_2 = a_1 - \frac{v_1}{v_2}a_2\),

also

        \(\begin{aligned}\alpha_1&=1\\\alpha_2&=-\frac{1}{v_2}\\\beta&=a_1 - \frac{v_1}{v_2}a_2\end{aligned}\)

Answer 2

Guckst du hier: https://www.mathelounge.de/895146/beweise-aufstellen-formulierung

Comments

okay , hab das so jetzt umgeformt:

a1 + a2 +r (v1 + v2) = x1 + x2

wie mache ich dann hier weiter? , durch die klammer teilen oder wie? Und mir ist immernoch nicht klar wie ich damit alpha 1, 2 und beta kriege