Norm und Länge a,b ∈ ℝ^n | Beweis-Aufgabe

Question

Seien a , b ∈ ℝⁿ , Nun soll ich folgende Aussagen Zeigen:

a) (a + b) (a-b) = ||a||² - ||b||²

b) 4(a * b) = || a + b ||² - || a - b ||²

für a habe ich folgenden ansatz:

||a||² = √a² 

||b||² = √b²

(a*a) - (b*b),

wenn das so richtig ist, wie mache ich ab da weiter?

Answer 1

Vermutlich ist aber ||a|| so definiert:

Wurzel aus dem Skalarprodukt von a mit sich selbst, also

||a|| = √<a,a> oder wenn * das Skalarprodukt bedeutet: √(a*a).

Dann verwende die Gesetze des Skalarproduktes.

Etwa so:

(a + b)* (a-b)  Distributiv!

= a*(a-b) + b*(a-b) Distributiv nochmal

= a*a+a*(-b) + b*a+b*(-b)

Schon gezeigt a*(-b) = -a*b und b*a=a*b

also = a*a - b*b

 = ||a||^2 - ||b||^2

Comments

ok ich versuch das mal jetzt

---

jo, Perfekt, habe es verstanden und geschafft, vielen Dank !

---

Aber bei b) kann ich das nicht distributiv machen oder?, wegen dem mal?

---

hmm, die b) schaffe ich irgendwie doch nicht, das verwirrt mich gerade

---

Fang bei b) mit der rechten Seite an

|| a + b ||2 - || a - b ||2

=(√((a+b)*(a+b)))^2 - (√((a-b)*(a-b)))^2

√ und hoch 2 heben sich auf

=(a+b)*(a+b) - (a-b)*(a-b)

und jetzt geht es entsprechend .

---

ah okay, mein fehler habe links angefangen, ok alles klar danke sehr!

---

Ok , hab das vorhin nochmal versucht für die b)

wie ändern sich genau die vorzeichen bei dem distributiv gesetz wenn in beiden klammern jeweils + steht und - ?

---

(a+b)*(a+b) - (a-b)*(a-b)

= a*a+a*b+b*a+b^2 - ( a*a+a*b-b*a+b*b)

= 2a*b - (-2a*b) = 2a*b+2a*b = 4a*b