Welche Teilmengen sind nach oben oder unten beschränkt?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen von \( \mathbb{R} \) sind nach oben und/oder unten beschränkt? Geben Sie im Existenzfall das Supremum und/oder Infimum der Menge an und entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. ein Minimum handelt. Begründen Sie Ihre Antworten!
(a) \( M_{1}:=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-2 x \leq 0\right\} \)
(b) \( M_{2}:=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x>0 \wedge \frac{1}{x}>\frac{1}{x^{3}}\right\} \)
(c) \( M_{3}:=\left\{\frac{1}{1+x^{2}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)
(d) \( M_{4}:=\left\{2^{(-1)^{n} n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \)

Answer 1

Aloha :)

zu (a): Wir schreiben die Bedingung an die Elemente der Menge \(M_1\) um:$$x^2-2x\le0\stackrel{(+1)}{\implies} x^2-2x+1\le1\implies (x-1)^2\le1\implies 0\le x\le2$$\(M_1\) hat das Minimum \(0\) und das Maximum \(2\).

zu (b): Wir schreiben die Bedingung an die Elemente der Menge \(M_2\) um:$$\frac{1}{x}>\frac{1}{x^3}\stackrel{(\cdot x^3)}{\implies} x^2>1\stackrel{(x>0)}{\implies}x>1$$Die Menge \(M_2\) besitzt das Infimum \(1\).

zu (c): Wir schreiben die Funktionsgleichung der Menge \(M_3\) um:$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}=\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{x^2}{1+x^2}$$Für \(x=0\) wird von der \(1\) nichts abgezogen. Daher hat \(M_3\) das Maximum \(1\). Der Subtrahend nähert sich für wachsende \(x\) dem Wert \(1\) ohne ihn jedoch zu erreichen. Daher hat \(M_3\) das Infimum \(0\).

zu (d): Wir schreiben die Folgenglieder um:$$2^{(-1)^{n}n}=\left\{\begin{array}{ll}2^n &\text{falls \(n\) gerade}\\\frac{1}{2^n}&\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Die obere Folge wächst ins Unendliche, also hat \(M_4\) kein Supremum. Die untere Folge konvergiert gegen \(0\), ohne den Wert jedoch jemals zu erreichen. Daher ist \(0\) das Infimum von \(M_4\).