Konvergenz von Reihen bei gegebenem Grenzwert der Folge

Question

vielleicht finde ich ja hier etwas Hilfe. Ich habe folgende Aufgabe vorliegen:

Sei (d_k)_k∈N eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit $$\lim\limits_{x\to\infty}\sum \limits_{n=1}^{n}d_k = \infty$$

Nun ist die Frage, was wir daraus über die Konvergenz folgender Reihen schließen können:

$$a) \sum \limits_{n\geq1 } \frac{d_n}{1+d_n}$$

$$b) \sum \limits_{n\geq1 } \frac{d_n}{1+nd_n}$$

$$c) \sum \limits_{n\geq1 } \frac{d_n}{1+n^2d_n}$$
$$d) \sum \limits_{n\geq1 } \frac{d_n}{1+d_n^2}$$

Ich habe leider so gar keine Idee, wie ich da rangehen muss. Habt ihr einen Tipp für mich? Ich wäre euch sehr dankbar!

Liebe Grüße

Sturm

Comments

Man könnte mit dn kürzen.

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Bringt das wirklich was? Wenn ich das bei a) probiere, kommt wieder exakt der gleiche Bruch raus. Ich muss ja erst ausklammern, damit ich kürzen darf...

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a)  Sei d = dn

(d/d)/ (1/d +d/d) = 1/(1/d+1) 

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Danke erstmal für deine Antwort :)

Darf man das so machen? Einfach überall ein geteilt durch d reinhauen? Ich habe das noch nie irgendwo gesehen ^^'

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Darf man das so machen

Man darf es, falls d ≠ 0  gewährleistet ist. Ob das der Fall ist, darüber wird Gast2016 sicherlich noch etwas schreiben, ebenso zu deiner bisher völlig ignorierten Frage  Bringt das wirklich was?

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darüber wird Gast2016 sicherlich noch etwas schreiben,

Das wird er garantiert nicht mehr, nachdem er das nomen horribillimum aus 2 Buchstaben und 4 Ziffern in diesem Thread gelesen hat.

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"Nomen horribilis", sagt man in Bananenpflanzerkreisen dazu.

Answer 1

Zu (a):
$d_n=1$ erfüllt die Voraussetzung und die Reihe aus (a) divergiert. Ob sie
für alle Folgen $(d_n)$, die die Voraussetzung erfüllen divergiert, weiß ich nicht.
Zu (b):
$d_n=1/n$ erfüllt die Voraussetzungen und die Reihe aus (b) divergiert.
Auch hier ist mir nicht klar, ob dies auch für alle solchen Folgen der Fall ist.
Zu (c):
Hier haben wir $n^2d_n\lt 1+n^2d_n\Rightarrow \frac{d_n}{1+n^2d_n}\lt\frac{1}{n^2}$,
also hat die Reihe aus (c) eine konvergente Majorante, konvergiert also.
zu (d):
$d_n=1$ erfüllt Voraussetzung, aber die Reihe in (d) ist $\sum(1/2)$ und divergiert.
$d_n=n^2$ erfüllt die Voraussetzung und die Reihe in (d) konvergiert.

Comments

Wende das Quotientenkriterium auf die gegebene Reihe an.
Nutze das so erworbene Wissen, um es beim Anwenden des Quotientenkriteriums auf die in Frage stehenden Reihen a) und b) einzusetzen.