Schnittgerade zweier Ebenen

Question

Gegeben habe ich diese beiden Ebenen
\( \begin{array}{l} E_{1}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c} -4 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)=0 . \\ E_{2}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)=0 . \end{array} \)
Berechnet soll die Schnittgerade.

Wie sieht das aus kann mir wer ein Rechendweg zeigen bitte ?

\( \begin{array}{l}g: \vec{x}=( \\ , \quad \lambda \in \mathbb{R}\end{array}, , , ^{\top}+\lambda(, , )^{\top} \)

Answer 1

Mache Koordinatengleichungen daraus

-4x - 5y + 2z = 5   und
5x +4y +2z = 14

erste minus zweite

-9x -9y  =  -9

Und du siehst:  x kannst du frei wählen, etwa x=t

dann gibt es -9t -9y =  -9  ==>   y = -t+1

beides in die erste einsetzen

-4t -5( -t+1) + 2z = 5 gibt z=-0,5t+5

Also ist die Schnittgerade die Menge aller Ortsvektoren vom Typ

\(\vec{x}=\begin{pmatrix} t\\ -t+1 \\-0,5t+5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\1\\5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} t\\-t\\-0,5t \end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix} 0\\1\\5 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\-0.5 \end{pmatrix}\)

Dann noch t durch Lambda ersetzen. Und rechne mal nach, die Zahlen

stimmen wohl nicht ganz.

Comments

Kleine Frage, wieso haben Sie nochmal x=t ausgewechselt und dann aber denn Wert bei "beides in die erste einsetzen" in y eingefügt... sorry bin nur bisschen verwirrt

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Da war ja  -9x -9y =  -19 richtig    -9x -9y =  -9

Dort x=t eingesetzt gab y = 1  -t

Und das muss dann natürlich bei der anderen

Gleichung für das y eingesetzt werden.

Ich habe den Rechenfehler gefunden,

korrigiere es jetzt.