(X1, X2) folgen multivariate Normalverteilung, zeige, dass aus sigma1,2 = 0 folgt, dass X1 und X2 unabhängig sind

Question

Aufgabe:

Die Verteilung von (X1, X2) folgt der multivariaten Normalverteilung. Es gilt zu zeigen, dass wenn

∑ =

σ12	σ1,2
σ1,2	σ22

mit σ_1,2 = 0 folgt, dass X1 und X2 unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Wir wissen bereits aus einem vorherigen Aufgabenteil, dass wenn (X1, X2) der multivariaten Normalverteilung folgen, X1 und X2 normalverteilt sind. Nun gilt zu zeigen, dass P(X1 ∩ X2) = P(X1) * P(X2).

Leider weiß ich nicht, wie ich mir den Schnitt beider Zufallsvariablen vorstellen kann und habe somit keinen weiteren Ansatz für die Aufgabe.

Comments

Mich würde interessieren, was Du unter \(P(X_1)\) verstehst?

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genauer: zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn gilt, dass P(X1 <= c1, X2 <= c2) = P(X1 <= c1) * P(X2 <= c2). Leider weiß ich jedoch nicht, wie ich diese Gleichheit zeigen kann!

Answer 1

Die Dichte einer zweidimensionalen Normalverteilung sieht so aus

$$ f(x,y) = \frac{ 1 } { 2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{ 1 - \rho^2  } } \cdot \exp \left\{-\frac{1} {2 (1 - \rho^2)} \left[\left( \frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho \left( \frac{ x-\mu_x }{ \sigma_x }\right)\left( \frac{ y-\mu_y }{ \sigma_y } \right) + \left( \frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right]\right\} $$

Im Fall der Unkorreliertheit folgt wegen \( \rho = 0 \)

$$ f(x,y) = \frac{ 1 } { 2 \pi \sigma_x \sigma_y } \cdot \exp \left\{-\frac{1} {2} \left[\left( \frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2+ \left( \frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right]\right\} = f(x) \cdot f(y) $$

Daraus folgt die Unabhängigkeit.