Bestimmen sie die Basiswechselmatrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sind folgende Basen des Q³

\( B:=\left\{\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\right\} \) und \( C:=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

Bestimmen sie die Basiswechselmatrix \( A_{C}^{B} \) , fur die gilt (v)B = \( A_{C}^{B} \) * (v)C

wobei (v)B und (v)C Koordinatenvektoren zur Basis B bzw. C sind.

Answer 1

Aloha :)

Die Koordinaten der Basisvektoren sind bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben. Daher kennen wir die Übegangsmatrizen von \(B\to S\) und vin \(C\to S\):$${_S}A_B=\left(\begin{array}{rrr}3 & 3 & 1\\2 & 3 & 2\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad{_S}A_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Die Übergangsmatrix von \(B\to C\) können wir daraus bestimmen:$${_C}A_B={_C}A_S\cdot {_S}A_B=\left({_S}A_C\right)^{-1}\cdot {_S}A_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & \frac12 & 0\\[0.5ex]2 & \frac52 & 1\\[0.5ex]0 & \frac12 & 1\end{array}\right)$$

Comments

Soweit ich mich mit üblichen Notationen auskenn, ist die Fragestellung missverständlich. Die Erklärung über die Koordinaten verlangt den Wechsel von C-Koordinaten nach B- Koordinaten.

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Rechts oben steht normalerweise die Eingangsbasis und rechts undten die Ausgangsbasis. Aber ich habe damit auch so meine Probleme, deswegen schreibe ich die Basen rechts und links neben die Übergangsmatrix.

Answer 2

Kann folgendes stimmen?

[3, 3, 1; 2, 3, 2; 1, 1, 1]^(-1)·[1, 1, 0; 0, 1, 1; 1, 0, 1] = [2, -0.5, 0.5; -2, 1, -1; 1, -0.5, 1.5]

Comments

du hast dadurch die Transformationsmatrix berechnet. richtig?
was ist der Gedanke dahinter, wie man dann damit die Basiswechselmatrix bestimmt?

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Nein, das kann nicht stimmen.

Du hast die Transformationsmatrix \(C\to B\) bestimmt.