Seien \( X_i \) unabhängig, identisch verteilte poissonverteilter Zufallsvariable mit \( \lambda = 1 \)
Wenn \( S_n = \sum_{k=1}^n X_i \) ist, dann ist \( S_n \) poissonverteilt mit Paramter \( \lambda = n \)
Also $$ P \left( S_n = k \right) = \frac{ n^k }{ k! } e^{-n} $$ und damit $$ P ( S_n \le n ) = \sum_{k=1}^n \frac{ n^k }{ k! } e^{-n} $$
Weiter gilt
$$ \frac{1}{2} = \Phi(0) = \lim_{n \to \infty} P \left( \frac{S_n - n}{\sqrt{n} } \le 0 \right) = \lim_{n \to \infty} P \left( S_n \le n \right) $$ und damit
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{ n^k }{ k! } e^{-n} = \frac{1}{2} $$