Bestimmen Sie den Grenzwert (Grenzwertsatz)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{-n} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k !} \)

Hinweis: Wenden Sie den Zentralen Grenzwertsatz auf eine Folge unabhängiger, identisch
zum Parameter λ = 1 poissonverteilter Zufallsvariable an

Answer 1

Seien \( X_i \) unabhängig, identisch verteilte poissonverteilter Zufallsvariable mit \( \lambda = 1 \)

Wenn \(  S_n = \sum_{k=1}^n X_i \) ist, dann ist \( S_n \) poissonverteilt mit Paramter \( \lambda = n \)

Also $$ P \left( S_n = k \right) = \frac{ n^k }{ k! } e^{-n} $$ und damit $$  P ( S_n \le n ) = \sum_{k=1}^n \frac{ n^k }{ k! } e^{-n} $$

Weiter gilt

$$ \frac{1}{2} = \Phi(0) = \lim_{n \to \infty} P \left( \frac{S_n - n}{\sqrt{n} } \le 0 \right) =  \lim_{n \to \infty} P \left( S_n \le n \right)  $$ und damit

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{ n^k }{ k! } e^{-n} = \frac{1}{2} $$