Empirische Varianz transformierter Daten

Question

"Nehmen Sie an, Sie haben N Datenpunkte x₁,...,x_N und wollen nun jeden mit einem Faktor a ∈ ℝ multiplizieren. Sie bekommen Datenpunkte y₁,...y_N, wobei y_i = a · x_i gilt. Wir bezeichnen nun mit v_x die empirische Varianz der x Datenpunkte und mit v_y die der y Daten. Rechnen Sie nach, dass gilt:

v_y = a²v_x

Mir ist bewusst, dass die Werte bei der Varianz quadriert werden und das der Faktor a dann ebenfalls quadriert werden muss. Aber ich steh etwas auf dem Schlauch, wie man das auseinanderziehen kann. Denn eigentlich würde das ja so dastehen:

((a · x_i) - X̅)²

Deswegen bin ich erwas verwirrt, wie man das a² einfach vor die Varianz von x ziehen kann.

Ist es egal, ob man erst x_i · a rechnet und dann den Mittelwert abzieht oder erst xi - X̅ und dann mal a?

Answer 1

$$ \sum_{i=1}^n ( y_i - \overline{y} )^2 = \sum_{i=1}^n y_i^2 - n \overline{y}^2 = a^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 - n a^2 \overline{x} = a^2 \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 - n \overline{x} \right) $$ und deswegen gilt $$ \text{Var}(y) = a^2 \text{Var}(x) $$