Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
$$I\coloneqq\int \underbrace{e^{-cx}}_{=u'}\cdot\underbrace{\cos(bx)}_{=v}\,dx=\underbrace{-\frac1ce^{-cx}}_{=u}\cdot\underbrace{\cos(bx)}_{=v}-\int\underbrace{\left(-\frac1ce^{-cx}\right)}_{=u}\cdot\underbrace{(-b\sin(bx))}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{I}=-\frac1ce^{-cx}\cdot\cos(bx)-\frac bc\int\underbrace{e^{-cx}}_{=f'}\cdot\underbrace{\sin(bx)}_{=g}\,dx$$$$\phantom{I}=-\frac1ce^{-cx}\cdot\cos(bx)-\frac bc\left(\underbrace{-\frac1ce^{-cx}}_{=f}\cdot\underbrace{\sin(bx)}_{=g}-\int\underbrace{\left(-\frac1ce^{-cx}\right)}_{=f}\cdot\underbrace{b\cos(bx)}_{=g'}\,dx\right)$$$$\phantom{I}=-\frac1ce^{-cx}\cos(bx)+\frac{b}{c^2}e^{-cx}\sin(bx)-\frac{b^2}{c^2}\underbrace{\int e^{-cx}\cdot\cos(bx)\,dx}_{=I}$$Wir bringen beide Integrale auf eine Seite:$$I+\frac{b^2}{c^2}I=-\frac1ce^{-cx}\cos(bx)+\frac{b}{c^2}e^{-cx}\sin(bx)$$$$\frac{b^2+c^2}{c^2}\,I=-\frac1ce^{-cx}\cos(bx)+\frac{b}{c^2}e^{-cx}\sin(bx)$$$$I=\frac{c^2}{b^2+c^2}\left(-\frac1ce^{-cx}\cos(bx)+\frac{b}{c^2}e^{-cx}\sin(bx)\right)$$$$I=\frac{e^{-cx}}{b^2+c^2}\left(b\sin(bx)-c\cos(bx)\right)$$Offensichtlich ist es suboptimal, wenn \(b=0\) und \(c=0\) sind, weil wir dann durch \(0\) dividieren würden. In diesem Fall wäre der Integrand jedoch \(1\) und damit \(x\) eine Stammfunktion. Fassen wir zusammen:$$\int e^{-cx}\cdot\cos(bx)\,dx=\left\{\begin{array}{cl}x+\text{const} &\text{falls }a=b=0\\\frac{e^{-cx}}{b^2+c^2}\left(b\sin(bx)-c\cos(bx)\right)+\text{const} &\text{sonst}\end{array}\right.$$
Widmen wir uns nun noch den Grenzen, fällt sofort auf, dass das Integral für \(a=b=0\) nicht existiert, weil die obere Grenze unendlich groß ist. Für alle anderen Fälle setzen wir die Grenzen ein und erhalten:$$\int\limits_0^\infty e^{-cx}\cdot\cos(bx)\,dx=\left\{\begin{array}{cl}\text{nicht definiert} &\text{falls }a=b=0\\\frac{c}{b^2+c^2}&\text{sonst}\end{array}\right.$$
