Zeigen Sie die folgende Aussage: Ist a monoton steigend und beschränkt, so gilt lim(a) = sup(Bild(a)).

Question

Aufgabe:Seien a = (an)n∈N und b = (bn)n∈N Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie die folgende Aussage:
Ist a monoton steigend und beschränkt, so gilt lim(a) = sup(Bild(a)).

Text erkannt:

Seien \( a=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( b=\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Ist \( a \) monoton steigend und beschränkt, so gilt \( \lim (a)=\sup (\operatorname{Bild}(a)) \).

Answer 1

Sei g = lim (a) .  Wegen der Monotonie folgt g ≥ a_n für alle n∈ℕ.

Also ist g eine obere Schranke für { a_n | n∈ℕ } = Bild(a).

Sei nun g ' < g . Somit g-g' = ε > 0.

Da g = lim (a) gibt es ein N∈ℕ so dass für alle

    n∈ℕ gilt   n>N ==> |a_n - g| < ε .

Wegen (s.o.)  g ≥ an folgt |a_n - g| =  g - a_n .

                        ==>    g - a_n  < ε  = g-g'

                      ==>   - a_n < -g'

                              ==>   a_n > g'

Also ist g ' keine obere Schranke. Somit gibt es keine kleinere

obere Schranke von Bild(a) als g, also ist g das Supremum von Bild(a).