Zeigen, dass für alle reellen Zahlen folgende Aussage gilt

Question

Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a, b gilt

$$ ab\quad \le \quad \frac { a² }{ 2 } +\frac { b² }{ 2 } $$

Außerdem gilt für ε > 0

$$ ab\quad \le \quad \varepsilon a²\quad +\quad \frac { 1 }{ 4\varepsilon  } b² $$

Verwenden sie ohne Beweis, dass es eine Zahl r > 0 gibt mit r² = ε

Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Bin um jeden Hinweis dankbar.

Answer 1

Die erste Ungleichung musst du einfach etwas umformen

ab   ≤   a^2 / 2   +   b^2 / 2       |  * 2

2ab  ≤   a^2    +   b^2     |  -2ab

0   ≤   a^2    -2ab  +   b^2       binomi. Formel

0   ≤  ( a   -   b )  ^2    und das gilt sicherlich immer, da Quadrate nie negativ sind.

Comments

ab   ≤   eps*a²    +  1 / ( 4 eps) * b²   mit dem Tipp verwende r^2

ab   ≤   r^2*a²    +  1 / ( 4 r^2 ) * b² 

0  ≤   (ra) ²     - ab +     (b/2r)²    wieder binomi. Fo.

0  ≤ (  (ra)     -  ( b/2r)   ) ²    also wieder ein Quadrat,
das jedenfalls nicht negativ ist.

Answer 2

2 * a * b ≤ a^2 + b^2  | - 2 * a * b
0 ≤ a^2 - 2*a*b + b^2
0 ≤ ( a - b)^2

Quadratzahlen oder Terme sind stets positiv oder 0
Die Ungleichung stimmt also.

Bei der anderen Aufgabe kann ich dir leider nicht helfen.