Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a und b gilt: 2ab ≤ a^{2} + b^{2}

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a und b gilt:

2ab ≤ a^{2} + b^{2}

Answer 1

a^2 + b^2 ≥ 2·a·b

a^2 - 2·a·b + b^2 ≥ 0

(a - b)^2 ≥ 0

Das ist eigentlich immer der Fall, da ein Quadrat ja eh nie negativ sein kann.

Comments

Vielen dank für die antwort, könntest du mir aber erläutern was hier getan wurde? Warum musste man 2ab auf die andere seite bringen und die binomische formel anwenden? hat dieser Beweiß einen namen?

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Bei Gleichungen ist es oftmals sinnvoll sie auf einer Seite zusammenzufassen um dann auf Nullstellen untersuchen zu können. Das macht man so bereits mit einer allgemeinen quadratischen Gleichung so.

Wenn man jetzt noch sieht das Teile vereinfacht werden können ist das eventuell auch sinnvoll.

Einen speziellen Namen hat das Verfahren soweit ich weiß nicht.

Answer 2

a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0

(a-b)^2 ≥ 0

Ein Quadrat ist immer kein nie negativ werden.

Comments

Was hat jetzt negativitaet mit grosser oder gleich zu tun?

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@atideva Was macht man mit Gleichungen um sie lösen zu können? Richtig, man stellt sie um.

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Nicht-negativ = größer oder gleich Null :)

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Ich habe es mittlerweile begriffen. Manchmal ist das einfache für mich nicht direkt sichtbar. Also