Grenzwerte für zwei Funktionen bestimmen

Question

Aufgabe:

a) lim_(x↦1) 1/1-x - 3/(1-x)^3

b) lim_(x↦2) [2x+1/1+x^2]

Problem/Ansatz

Bei der a) habe ich keine Ahnung wie ich es am besten lösen kann und bei B muss es doch eigentlich 1 sein oder? (Die Gaußklammern sind eigentlich dazu da, um es abzurunden, was bei dieser Aufgabe theoretisch unnötig ist)

Comments

Hallo,

zunächst solltest Du durch Setzen von Klammern die Aufgabe richtig formulieren, oder meinst Du wirklich 1/1-x ...=1-x ...?

Wenn Du das getan hast kannst Du die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Bei b) würde ich mal die Werte für x=2.1 und für x=1.9 berechnen.

Gruß Mathhilf

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Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)^{2}} \)

Die Aufgabe a) meinte ich so und bei der b) wieso soll ich da x= 2.1 und x= 1.9 berechnen?

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UPS meinte (1-x)^3

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Du sollst x=2.1 in den Funktionsausdruck einsetzen und den Funktionswert berechnen, ebenso für 1.9.

Gruß

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Das verstehe ich ja, aber ich möchte auch den Grund wissen wieso? Macht man es so bei einer Gaußklammer oder steckt da noch was anderes dahinter?

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Warum machst Du es nicht einfach, was kommt denn raus?

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für 2.1 kommt 0 und für 1.9 kommt 1 raus

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Also sieht es so aus, dass Deine Behauptung, der Grenzwert sei 1 falsch ist, weil ja ganz "in der Nähe" der Wert 0 herauskommt. Das was dieses Beispiel uns lehrt musst Du jetzt nur noch allgemein aufschreiben. Also etwa: Linksseitiger Grenzwert gleich1, rechtsseitiger Grenzwert=0 ..

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Heißt es dann, dass es keinen Grenzwert gibt da der linksseitiger GW gleich 1 und der rechtsseitiger GW gleich 0 ist?

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Ja, das heißt es

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Ok Vielen Dank, wollte noch fragen wie ich es am Anfang am besten aufschreiben kann, also das wir für x = 2.1 und x=1.9 betrachten. Meine Uni ist da sehr penibel was das angeht.

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Die Sache mit den Zahlen war nur ein Beispiel, um Dich auf Deinen anfänglichen Fehler aufmerksam zu machen. Um das jetzt korrekt umzusetzen, musst Du natürlich allgemein argumentieren: Zum Beispiel: Mit

$$h(x):=\frac{1+2x}{1+x^2}$$

gilt  für \(x \in [1,2]:\quad h(x) \in [1,2)\) und für \(x \in (2,3]:\quad h(x) \in (0,1)\) (das muss nachgerechnet werden). Mit den Gauss-Klammern ist dann der linksseitge Funktionsgrenzwert gleich 1 und der rechtsseitge gleich 0.

Du kannst alternativ auch die 2 Folgen \((h(2 \pm 1/n))\) betrachten.

Gruß Mathhilf

Answer 1

a) lim_(x↦1) \( \frac{1}{1-x} \) - \( \frac{3}{(1-x)^3} \) = lim_(x↦1) \( \frac{(1-x)^2-3}{(1-x)^3} \)=

= lim_(x↦1+) \( \frac{-2x+x^2-2}{(1-x)^3} \)→∞

= lim_(x↦1-) \( \frac{-2x+x^2-2}{(1-x)^3} \)→-∞

Comments

Also die Lösung von ihnen ist Richtig, jedoch verstehe ich ihren Rechenweg nicht so ganz, könnte sie es mir bitte genauer erläutern?

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Ab wo klemmt es?

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Also wie sie es oben umgeformt haben und ich verstehe nicht so ganz, wie man es für 1+ und 1- den Grenzwert betrachten soll

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Den 1. Bruch habe ich mit \( (1-x)^{2} \) erweitert, damit gleiche Nenner da sind. Dann alles auf einen Bruchstrich und vereinfachen.

lim_(x↦1+)\( \frac{-2x+x^2-2}{(1-x)^3} \)

Hier setze ich x=1,1

\( \frac{-2*1,1+1,1^2-2}{(1-1,1)^3} \)=\( \frac{-2,2+1,1^2-2}{(-0,1)^3} \)=2990

lim_(x↦1-)   Hier setze ich x=0,9

\( \frac{-2*0,9+0,9^2-2}{(1-0,9)^3} \) =-2990

Hier der Verlauf des Graphen:

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Ok das verstehe ich jetzt aber wie kommen sie auf die obige Umformung?

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Habe ich noch oben ergänzt.

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lim_(x↦1) \( \frac{(1-x)^2-3}{(1-x)^3} \) ich meine wie kommen sie darauf es so umzuformen?

Haben Sie es eerstmal auf den gleichen Nenner gebracht und dann weggekürzt oder wie?

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Ja, erst alles auf einen Nenner, dann den Zähler ausrechnen und vereinfachen. Dann Grenzwertbetrachtung mit 1+ und 1-

( Es gibt z. B  Brüche   \( \frac{x^2+9}{x^2+18} \) , wo das Verhalten →∞   untersucht werden soll. Da ist alles einfacher zu berechnen,als wenn da steht \( \frac{x^2}{x^2+18} \)+ \( \frac{9}{x^2+18} \))

Darum habe ich alles erst auf einen Nenner gebracht.

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Ok Vielen Dank