Grenzwerte berechnen von E- Funktionen

Question

Text erkannt:

(i) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{31}}{e^{x^{2}}} \),
(ii) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x} \),
(iii) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}} \),
(iv) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \arcsin (2 x) \cot (4 x) \).

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

e^(x^2)´wächst schneller als jede Potenz von x, also ist der

erste Grenzwert 0.

Den 2. zerlege in

x *   ( x/sin(x) * sin(1/x)

Der erste Faktor geht gegen 0, der zweite gegen 1 und der 3. ist beschränkt.

==>  Grenzwert = 0.

Comments

Bei der (iii) habe ich 1/e als Grenzwert, nur verstehe ich nicht ganz wieso ?

---

x^(  1 / (1-x) )  =  e^(   ln(x) / (1-x) )

Wegen der Stetigkeit der e-Fkt. reicht es den Grenzwert von ln(x) / ( 1-x)

zu bestimmen. Mit de Hospital führt das auf (1/x )  / (-1).

Das hat für x gegen 1 den Grenzwert -1, also ist der

ursprüngliche Grenzwert e^(-1).