Zeigen Sie: R ist genau dann eine ̈Aquivalenzrelation, wenn R−1 eine ̈Aquivalenzrelation ist.

Question

Aufgabe:

Es sei R eine Relation auf einer Menge M . Es sei R−1 := {(a, b) | (b, a) ∈ R}.

Zeigen Sie: R ist genau dann eine ̈Aquivalenzrelation, wenn R−1 eine ̈Aquivalenzrelation ist.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Idee wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.

Wäre sehr dankbar über Lösungsansätze!

Answer 1

Sei R eine Äquivalenzrelation auf M.

Beh.: R^(-1) ist auch eine.  Dazu muss man zeigen

1. : R^(-1) ist reflexiv, also für alle x∈M gilt (x;x) ∈ R^(-1)

    Das ist erfüllt, denn es ist ja (x;x) ∈ R, und wenn man die

   Komponenten vertauscht ( um nach R^(-1) überzugehen)

      bleibt es ja bei (x;x).

2. R^(-1) ist symmetrisch, also für alle  (x;y) ∈ R^(-1)

   gilt ( y,x ) ∈ R^(-1).

   Sei also   (x;y) ∈ R^(-1) ==>  (y,x)   ∈ R

        ==>   ( x,y)  ∈ R , da R symmetrisch

        ==>   ( y,x ) ∈ R^(-1).

3. entsprechend bekommst du durch Zurückführen auf R

  auch die Transitivität hin.

Und dann die Umkehrung .